Eine Aufgabe aus der 3.Stufe der Mathematikolympiade des Schuljahres 1995/96, Klassenstufen 9 und 10.
Die Zahl 20! ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 20. Im Dezimalsystem hat die Zahl 19 Stellen. Jürgen hat den Rechnerausdruck
20! = 24329020 * 81766*****
erhalten; darin sind die Ziffern * unleserlich. Die anderen Ziffern sind korrekt.
Kann er die fehlenden Ziffern ermitteln, ohne einen Rechner zu benutzen oder Multiplikationen mit Zahlen durchzuführen, die zehn oder mehr Stellen umfassen?
Hinweis: Aufgaben dieser Art, in denen nach Ziffern in der Dezimaldarstellung gesucht wird, lassen sich oft mit Hilfe von Teilbarkeitsregeln lösen. Während die Regeln für die Teilbarkeit durch 2,3, 4, 5, 8,9 meist bekannt sind, ist die Teilbarkeitsregel für 11 nicht so bekannt. Sie sei deshalb hier genannt; ein Beweis dafür findet sich in der Lösung. Eine Zahl ist teilbar durch 11, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
(Bei der alternierenden Quersumme wechseln die Ziffern ihr Vorzeichen, begonnen wird mit der Einerziffer. Beispiel: Die alternierende Quersumme der Zahl 85976 ist 6 - 7 + 9 - 5 + 8 = 11. Da 11 natürlich durch 11 teilbar ist, muss auch 85976 durch 11 teilbar sein).