Gegeben sei die Zahl z in der Dezimaldarstellung: z = a_na_n-1....a₁a₀.

Das heißt: z = a_n•10ⁿ + a_n-1•10^n-1+ ... + a₁•10¹+ a₀

Nun gilt:

a₀=0•11+ a₀;

10•a₁= 11•a₁ – a₁;

100•a₂= 99•a₂ + a₂ = 9•a₂•11 + a₂, u.s.w.

Da alle geraden Potenzen von 10, also 100, 10000 u.s.w. bei Teilung durch 11 den Rest 1, alle ungeraden ( 10, 1000 u.s.w.)den Rest – 1 lassen, hat die alternierende Quersumme bei Teilung durch 11 denselben Rest wie die Zahl selbst.

Offenkundig ist die Regel umkehrbar: Ist die Zahl z durch 11 teilbar, so muss die alternierende Quersumme ebenfalls durch 11 teilbar sein. ( Denn die Zerlegung der Zahl in einer Summe von Zehnerpotenzen ist eindeutig).

Wir kommen zur Lösung des gestellten Problems. Dabei wählen wir einen anderen Weg als den, welcher in der „offiziellen“ Lösung im Jahr 1995 vorgeschlagen worden war. Nur an der eben vorgestellten Teilbarkeitsregel kommen auch wir nicht vorbei.

Die Riesenzahl 20! lässt sich recht einfach in ihre Primfaktoren zerlegen. So kommt z.B. der Primfaktor 2 genau 18-mal vor: zehnmal in den Zweierpotenzen 2, 4, 8, 16 und achtmal in den verbleibenden geraden Zahlen 6,10,12,14,18,20. Es gilt:

20! = 2¹⁸•3⁸•5⁴•7²•11•13•17•19 = 10⁴• ( 2¹⁴•3⁸•7²•11•13•17•19).

Somit müssen die letzten vier Ziffern der Zahl 20! Nullen sein.

Wie lautet die fünftletzte Ziffer? Sie ist die Endziffer des in Klammern gesetzten Produktes. Die Endziffer des Produktes 17•19 ist 3; kommt der Faktor 13 dazu, so ist die Endziffer 9, der hinzukommende Faktor 11 führt zu einer Endziffer 9, der Faktor 7² = 49 zu einer Endziffer1, der Faktor 3⁸ = 3⁴•3⁴ = 81•81 zu einer Endziffer 1, der Faktor 2¹⁴ =2⁷•2⁷ = 128•128 schließlich zur Endziffer 4.

Also lauten die fünf letzten Ziffern 40000. Bleibt noch eine fehlende Ziffer. Und diese erhalten wir unter Benutzung der eben genannten Teilbarkeitsregel. Denn 20! enthält den Faktor 11, und so muss ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar sein.

Wenn wir die noch fehlende Ziffer mit x bezeichnen, so ist die alternierende Quersumme von 20!:

0 – 0 + 0 – 0 + 4 –6 +6 –7 + 1 – 8 + x –0 +2 – 0 + 9 – 2 + 3 – 4 + 2 = x

Die einzige durch 11 teilbare Ziffer ist 0, also ist x = 0.

Ergebnis: 20! = 2432902008176640000