Die Anregung und die meisten Daten zur folgenden Aufgabe stammen aus dem Beitrag „Allgemeine Beweislehre und Denkgesetze“ von Herrn Prof. em. Dr. Helmut Rüßmann; der Beitrag befindet sich auf seiner homepage beim Lehrstuhl für Bürgerliches Recht, Zivilprozessrecht und Rechtsphilosophie an der Universität des Saarlandes. Ich danke Herrn Rüßmann für die Erlaubnis, seinen Beitrag verwenden zu dürfen.
Polizisten führen einen Alkoholtest in der Weise durch, dass aus dem Verkehrsstrom zufällig Autofahrer herausbeordert werden und in ein Röhrchen blasen müssen. Man weiß, dass bei einem Probanden, der Alkohol getrunken hat ( Merkmal A für „Alkoholfahrer“), mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 das Testergebnis positiv ausfällt ( Merkmal B), dass leider aber auch bei jedem hundersten unter den völlig Nüchternen ( Merkmal A) damit zu rechnen ist, dass Merkmal B vorliegt, der Test also positiv ausfällt. Mit B bezeichnen wir das Ereignis (Merkmal), dass der Test negativ ausfällt.
Mit p(X|Y) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gemeint; das ist die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen von Merkmal X in den Fällen, in denen sicher ist, dass Merkmal Y vorliegt. In anderen Worten: p(X|Y) ist der Anteil der Probanden, die Merkmal X und zugleich Merkmal Y tragen, an denProbanden mit dem Merkmal Y. Das ist zu unterscheiden von p(X ∩ Y) : Das ist der Anteil der Probanden, die Merkmal X und zugleich Merkmal Y tragen, an allen Probanden. Das bedeutet: p(X|Y) = p(X ∩ Y)/p(Y) .
Die Eigenschaften des Tests lassen sich mit diesen Begriffen wie folgt beschreiben:
p(B|A) = 0,95; p(B|A) = 0,05; p(B|A) = 0,01; p(B|A) = 0,99
Der Streifenführer der Polizisten ordnet an, dass bei jedem zweiten positiv getesteten Probanden eine Blutprobe vorzunehmen ist.
a) Wie kann man auch ohne Rückgriff auf das Vokabular oder auf Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung erklären, dass die Entscheidung des Streifenführers unbegründet ist ( im Sinne von bodenlos, aus der Luft gegriffen) ?
b) Zeichnen Sie in den Fällen p(A) = 0, p(A) = 0,001; p(A) = 0,01 und p(A) = 0,1 jeweils das Flussdiagramm und ermitteln Sie daraus die folgenden Wahrscheinlichkeiten
· Der Proband ist Alkoholfahrer und wird positiv getestet : p(A ∩ B)
· Der Proband ist Alkoholfahrer und wird negativ getestet: p(A ∩ B)
· Der Proband ist völlig nüchtern und wird positiv getestet: p(A ∩ B)
· Der Proband ist völlig nüchtern und wird negativ getestet: p(A ∩ B )
· Ein aus den positiv Getesteten zufällig Ausgewählter ist Alkoholfahrer: p(A|B)