Stellen wir uns die gleiche Lage vor, wie sie in Aufgabe "Heureka II" gegeben ist. Dieses Mal stellt der Fürst eine Frage, die schon in der Antike beantwortet worden ist. Gegeben ist eine Schnur, die 36 cm lang ist. Sie soll so zu einem Rechteck gelegt werden, dass der Inhalt des Rechtecks maximal ist.
Der Fürst kennt die Lösung: Die Schnur muss zu einem Quadrat gelegt werden; dessen Seite wäre im gegebenen Fall 9cm lang. Der Fürst will wissen, wie seine Leute ihm dies beweisen.
a) Der Hofastronom kennt sich in Differentialrechnung aus. Er fasst das Problem als eine Extremwertaufgabe mit einer Nebenbedingung auf. Wie löst er es?
b) Der Goldschmied Albrecht zeichnet ein x-y-Koordinatensystem. Die Achsen repräsentieren die beiden Rechteckseiten x und y ( 10 cm Länge gleich 2cm in der Zeichnung). Zuerst trägt er einige Punkte ein, die der vorgegebenen Bedingung x+y= U/2 = 36/2 = 18 entsprechen. Wo liegen alle diese Punkte?
Er überzeugt sich durch eine Rechnung davon, dass unter dieser Bedingung das Produkt xoy im Fall x = y = 9cm maximal ist. Er kommt ohne Differentialrechnung aus; das Ausmultiplizieren von Summentermen genügt. Wie könnte er vorgegangen sein?
Dann überzeugt er sich auch anhand seiner Zeichnung von der Richtigkeit dieses Ergebnisses.
c) Der Sohn des Albrecht kann quadratische Gleichungen lösen. Wie beantwortet er die Frage?