a) x•y = A(x,y) und x+y = 18

Daraus folgt A (x) = x•(18 – x) = 18x – x². Ableitungen : A’=18-2x; A’’= -2 <0

Aus A’ = 0 folgt x= 9 und wegen A’’<0 muss es sich um ein Maximum handeln.

b) Die Punkte, welche die Bedingung x + y = U/2 = 18 erfüllen, liegen auf dem im ersten Quadranten befindlichen Abschnitt der Geraden mit dem x-Achsenabschnitt 18 und dem y- Achsenabschnitt 18. Ist B(x|y) ein Punkt dieser Geraden, so hat das Rechteck mit den Eckpunkten (0|0), (x|0), (x|y),(0|y) den Umfang 2x+2y=36 und den Inhalt x•y .

Man kann die Bedingung, welche die Seitenlängen x und y erfüllen müssen, auch so formulieren: Es sind die Punkte der Form (9 + δ | 9 – δ) , mit –9 ≤ δ ≤ 9 . Der Punkt (9|9) repräsentiert das Quadrat, und wegen (9+ δ)(9- δ) = 9² – δ² ≤ 9² hat das Quadrat unter den Rechtecken mit gleichem Umfang den größten Inhalt. Siehe dazu auch folgende Skizze.

B(x|y) ist ein beliebiger Punkt der “Bedingungsgeraden” x + y = 18 . Die Basiswinkel des rechtwinkeligen Dreiecks EFB sind einander gleich; das Dreieck ist also gleichschenklig, und die Strecken EB und EF sind gleich lang . Die Rechtecke DFCA und GHFE haben die gleichen Seitenlängen ( 9 und δ), sind also inhaltsgleich; der Inhalt des Rechtecks DEBA ist somit um δ² kleiner als der des Rechtecks GHFE. Das Quadrat OHFD hat also einen Inhalt, der um δ² größer ist als der Inhalt des Rechtecks OGBA.

c) x • (18 – x) = A

18x – x² = A und damit x² – 18x = - A. Quadratische Ergänzung, Auflösen nach x:

x = 9 + ( 81 – A)^0,5 oder x = 9 – (81 – A)^0,5 . A kann höchstens gleich 81 werden; dann ist die Diskriminante gleich Null: x = 9 und y = 9.

Der Junge hat schon etwas über komplexe Zahlen erfahren – im achtzehnten Jahrhundert lebt Leonhard Euler – und so überlegt er sich die folgende Darstellung.

Die Pfeile zeigen in Richtung wachsendes A. Startpunkte ( A = 0 ) sind die beiden Extremfälle x = 0 und x = 18 ( Die Schleife ist dabei zu einem „Strich“ ausgezogen).

x bleibt bei wachsendem A zunächst rein reell, bis x = 9 ( bei A = 81) erreicht ist. Danach wird der Imaginärteil von Null verschieden .

Diese Darstellung seines Sohnes bringt Albrecht ins Träumen, und er nimmt sich nochmals seine Zeichnung vor. Er möchte neben der „Bedingungsgeraden“ x + y = 18 weitere Kurven eintragen, auf der alle Punkte liegen müssen, welche als Lösungen in Frage kommen: Die Punkte (x|y), welche der Gleichung A = x•y genügen. Diese liegen auf einer Hyperbel, die symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden ist; sie schneidet die erste Winkelhalbierende im Punkt (A^0,5|A^0,5). Albrecht wählt den Wert: A = 144.

Offenbar ist in diesem Fall A noch zu groß: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden, die alle möglichen Lösungen ( x|y) enthält. Mit kleiner werdendem A gleitet der Punkt ( A^0,5 | A ^0,5 ) auf den Punkt ( 9| 9 ) zu, um ihn mit A = 81 zu erreichen. Wählt man A noch kleiner, so schneidet die Hyperbel diese Gerade in zwei Punkten. In den beiden Extremfällen, in denen man das Rechteck zu einer Strecke auszieht ( x = 0 oder y = 0 ) ist auch A = 0: In diese Fällen geht die Hyperbel in die Koordinatenachsen über ( freilich nur in die Achsenabschnitte vom Ursprung bis zum Punkt (18|0) bzw . zum Punkt (0|18) ).

Albrecht ist, wie er jetzt sieht und wie er gerne von seinem Sohn lernt, den Weg von den beiden imaginären Lösungen – darunter konnte er sich bisher nichts vorstellen, und seine Zeichnung gibt diese nicht her - zur einen, reellen Lösung gegangen, die zugleich die mit maximalem A ist, um dann den Weg zu zwei reellen Lösungen bis zu den Extremfällen A = 0 weiter zu gehen.

Die Gerade y = -x + 18 steht senkrecht auf der 1. Winkelhalbierenden im Punkt ( 9 | 9). Dort berührt sie die Hyperbel y = 81/x