Ein Generator erzeugt zufällig eine Zahl x; 0≤ x≤ 1. Es wird vorausgesetzt, dass der Generator perfekt funktioniert: Denkt man sich das Intervall von 0 bis 1 in beliebig viele gleich große Intervalle zerlegt, so soll die Wahrscheinlichkeit, x in einem dieser Intervalle anzutreffen, für alle Intervalle gleich groß sein.
Nachdem der Generator x erzeugt hat, rechnet er daraus zwei Summen gemäß folgender Vorschrift aus:
a) x2 + x
b) x3/2 + 0,5
So entstehen im Fall a) Zahlen zwischen 0 und 2; im Fall b) Zahlen zwischen 0,5 und 1,5.
Man denkt sich nun folgendes Spiel aus. Wenn die Summe größer oder gleich 1 ist, gewinnt der Spieler 3€; ist sie kleiner als 1, verliert er 2€; eine Teilnahmegebühr wird nicht erhoben.
Zeigen Sie: In beiden Fällen a) und b) wird auf lange Sicht der Spieler verlieren bzw. die Bank gewinnen.
c) In einem dritten Spiel erzeugt der Generator zwei Zufallszahlen x, y mit 0≤x,y≤ 1 . Er bildet sodann daraus die Zahl | x – y| , den Betrag der Differenz. Es wird folgende Gewinnregel vereinbart: Ist dieser Betrag größer als 0,6 , dann gewinnt der Spieler 5€, andernfalls verliert er einen €; eine Teilnahmegebühr wird nicht erhoben. Zeigen Sie: Auch in diesem Fall gewinnt auf lange Sicht die Bank!