In den Schulbüchern wird nach Behandlung der Anfänge der Kreisgeometrie oft die folgende Aufgabe gestellt, und ich kenne niemanden, der bei erster Bekanntschaft mit der Aufgabe über die Lösung nicht verwundert gewesen wäre. Die Aufgabe kann z.B. die folgende Form haben.
Um einen kreisrunden Pfeiler, dessen Durchmesser ein halber Meter lang ist, wird ein Seil straff gespannt. Jetzt nimmt man ein zweites Seil, das zehn Zentimeter länger ist als das erste. Dieses passt nicht mehr auf den Pfeiler, es bleibt etwas „Luft“. Um wie viel Zentimeter verläuft das zweite Seil, wenn man es kreisförmig um den Pfeiler herumlegt, über der Oberfläche des Pfeilers? Angenommen, ein Seil wäre straff um den Erdäquator gespannt. Auch in diesem Fall nehmen wir ein zweites, das zehn Zentimeter länger ist und legen es kreisförmig um den Äquator herum. Welchen Abstand hat das zweite Seil von der Erdoberfläche?
a) Lösen Sie die genannte Aufgabe. Zeigen Sie dazu: Gegeben ist ein Kreis mit Radius R. Wird der Umfang des Kreises um ΔU geändert, so ist die damit einhergehende Änderung ΔR des Radius nicht von R abhängig.
b) Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat, allgemein ein gleichseitiges n-Eck.
Mit a wird die Seitenlänge, mit R wird der Radius des Inkreises bezeichnet – das ist der Kreis, der die Seiten des n-Ecks als Tangenten hat. Der Umfang des Dreiecks, Quadrats, n-Ecks werde um ΔU geändert. Zu zeigen ist: Die mit der Änderung des Umfanges einhergehende Änderung ΔR des Inkreisradius hängt nicht von a ab.