Wenn ein Körper die Strecke s in der Zeit t zurücklegt, so bezeichnet man den Quotienten v = s/t als seine „mittlere“ Geschwindigkeit.
Beim Sprinttraining einer Fußballmannschaft wird oft ein Pendellauf durchgeführt. Das ist eine Variante des Staffellaufs, die ohne Staffelstab und ohne komplizierte Wechselregeln auskommt. Einige Spieler werden bei einem Punkt A des Platzes versammelt, die anderen bei einem Punkt B, der hier in der Aufgabe vom Punkt A 48m entfernt sein soll. Der erste Spieler startet bei A, sprintet geradewegs zu Punkt B, wo dann sofort der zweite Spieler startet, um zum Punkt A zurückzulaufen u.s.w. . Der erste Spieler läuft mit einer Geschwindigkeit von 6m/sec, der zweite mit einer Geschwindigkeit von 8 m/sec.
a) Berechnen Sie die Zeit T, die vom Start des ersten Spielers vergeht bis zur Ankunft des zweiten im Punkt A.
b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit v, die ein dritter Spieler haben müsste, der in der Zeit T von A nach B und wieder zurück laufen würde.
c) Zeigen Sie: Wenn der erste Spieler die Geschwindigkeit v1 hat und der zweite die davon verschiedene Geschwindigkeit v2 , so ist die mittlere Geschwindigkeit v des dritten Spielers kleiner als (v1+v2)/2 . ( v ergibt sich als das harmonische Mittel der Geschwindigkeiten v1 und v2 )
d) An dem Pendellauf nehmen n Spieler teil; ihre Geschwindigkeiten sind v1,v2, ...,vn. Bestimmen Sie eine Term zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit der n Spieler (d.i. das harmonische Mittel dieser Geschwindigkeiten).
Hinweis: Wer den Pendellauf aus eigenem Erleben nicht kennt, dem ist vielleicht doch vom Fernsehen her vertraut, wie die Wechsel bei den Staffeln der Schwimmer ablaufen.
Die Mannschaft veranstaltet einen Benefizlauf. Dabei werden die insgesamt von allen Spielern gelaufenen Kilometer gezählt. Pro gelaufenem Kilometer stiftet ein Sponsor 2€.
Da es ein recht heißer Tag ist, laufen alle nur 35 min.
e) Der Spieler Daniel läuft mit einer Geschwindigkeit von 2,5 m/sec, der Spieler Peter mit einer Geschwindigkeit von 3,5 m/sec. Welchen Betrag wird Daniel, welchen Betrag wird Peter erlaufen?
Welche Laufzeiten tDa bzw. tPe würden Daniel bzw. Peter benötigen, wenn sie den Betrag, den sie zusammen erlaufen, jeweils alleine gewinnen wollten? Geben Sie diese Zeiten auch in Minuten an.
f) Die Spieler Wolf und Dieter laufen nebeneinander her. Sie gewinnen zusammen den gleichen Betrag, den Daniel und Peter zusammen erreicht haben. Wie lange hätte jeder von beiden alleine laufen müssen, um diesen Betrag zu gewinnen? Vergleichen Sie diese Zeit mit den Laufzeiten von Daniel und Peter.