a) t₁ = 48m/(6m/sec) = 8sec; t₂ = 48m/(8m/sec) = 6sec ; T = 14 sec.

b) v = 96m/14sec= 48/7sec < (8+6)/2sec = 7sec

c) s/v₁ + s/v₂ = 2s/v → v = 2v₁v₂/(v₁+v₂) . Beh.: 2v₁v₂/(v₁+v₂) < (v₁+v₂)/2

↔ 4v₁v₂ <(v₁+v₂)² ↔ 0 < (v₁ – v₂)² , was im Fall v₁≠v₂ richtig ist

d) s/v₁ + s/v₂ + … + s/v_n = ns/v

↔ (v₂v₃…v_n + v₁v₃…v_n + v₁v₂…v_j-1v_j+1…v_n +…+v₁v₂…v_n-1)/(v₁v₂…v_n) = n/v

↔ v = nv₁v₂…v_n / (v₂v₃…v_n + v₁v₃…v_n + v₁v₂…v_j-1v_j+1…v_n +…+v₁v₂…v_n-1)

e) Daniel läuft 2,5m/sec•2100sec= 5250m; er gewinnt 10,5€.
Peter läuft 3,5m/sec•2100sec = 7350m; er gewinnt 14, 70€. Zusammen erlaufen sie 25,2€.
Sie sind zusammen 12600 m gelaufen.

t_Da = 12600m/(2,5m/sec) = 5040sec = 84 min ; t_Pe = 12600m/(3,5m/sec) = 3600sec= 60 min

f) Jeder von beiden hätte 2•35 min = 70 min lang laufen müssen.

Wolf und Dieter zusammen legen in 35 min die gleiche Strecke zurück wie Peter und Daniel zusammen, denn die beiden Läuferpaare erlaufen die gleiche Summe. Beide Läuferpaare gewinnen pro Zeiteinheit die gleiche Summe, legen also pro Zeiteinheit die gleiche Strecke zurück. Die Geschwindigkeiten sind die „Raten“, mit denen Strecken bzw. Euros gesammelt werden. Die Raten eines Läuferpaares erhält man, indem man die Raten der beiden Partner addiert, und das Ergebnis dieser Addition ist bei beiden Paaren gleich, d.h. Addiert man die Geschwindigkeiten von Peter und Daniel und die von Wolf und Dieter, so sind die Summen gleich.

Mit den „Laufzeiten“ sind die Zeiten gemeint, in denen ein jeder einzeln die 25,2€ erlaufen würde d.h. die Strecke s = 12600 m zurücklegen würde. Addition der Geschwindigkeiten ergibt:

2s/t_Wo = s/t_Da + s/t_Pe ↔ 2/t_wo = 1/t_Da + 1/t_Pe ↔ t_Wo = 2•t_Da•t_Pe/(t_Da + t_Pe)

Probe durch Einsetzen: 2•84•60/(84+60) = 70

Die Laufzeit von Wolf bzw. von Dieter ist das harmonische Mittel der Laufzeiten von Peter und Daniel.

Der zweite Teil der Aufgabe hat die gleiche Form wie die sog. Röhrenaufgaben, welche zum üblichen Repertoire des bürgerlichen Rechnens gehören. Ein Beispiel dazu.

Eine Röhre füllt ein Becken in drei Stunden, eine zweite in vier Stunden. Wie lange würde es dauern, bis beide Röhren zusammen das Becken gefüllt hätten? Und wenn man die beiden gegebenen Röhren durch zwei gleiche Röhren ersetzen würde: Welche Füllzeit t_f hätte eine jede dieser beiden Röhren ?

Die Füllraten sind zu summieren: 1/3 h^-1 + ¼ h^-1 = 7/12 h^-1, woraus folgt, dass beide Röhren zusammen das Becken in 12/7 Stunden füllen würden. Es folgt t_f = 2•12/7h = 24/7h .

Von den Raten her gesehen ( jeweils gemessen in h^-1) : 1/3 + ¼ = 2/t_f

→ t_f = 2•3•4/(3+4)=24/7 . Die Füllzeit t_f ist das harmonische Mittel der Füllzeiten der beiden gegebenen Röhren.

Ein weiterer Nachtrag für den geduldigen Leser.

Die folgende Figur zeigt ein arithmetisches, mehrere geometrische Mittel und ein harmonisches Mittel. Sie entsteht wie folgt.

In den ersten Quadranten eines x-y-Koordinatensystems wird ein Quadrat eingezeichnet mit den Ecken ( 0|0), (a|0), (a | a ), (0 | a) . In der Figur ist a = 6. Den y-Achsenabschnitt unterteilt man in die Strecken y₁ und y₂ = a – y₁ . In der Figur ist y₁ = 4 und y₂ = 2 . Das arithmetische Mittel dieser beiden Größen ist ( I )y_m = (y₁ + y₂)/2 . In der Figur ist y_m = 3 .

Dann trägt man drei Rechtecke ein, die mit dem Quadrat flächengleich sind. Sie haben mit dem Quadrat die Ecke (0|0) gemeinsam. Eine zweite Ecke liegt auf ( 0 | y₁), ( 0 | y_m ) ,( 0 | y₂ ).

Folglich liegt die rechte untere Ecke in ( x₁ | 0 ), ( x_m | 0 ) , ( x₂ | 0 ), wobei gilt:

( II ) a² = x₁y₁ = x_my_m = x₂y₂ In der Figur sind a² = 36, x₁ = 9, x_m = 12, x₂ = 18

Die Größe a ist das geometrische Mittel aus x₁, y₁ und ebenso aus x_m, y_m und x₂ , y₂ .

Aus (II) und (I) folgt: x_m•(y₁ + y₂)/2 = x₁y₁ = x₂y₂ und daraus x_m = 2x₁y₁/(y₁ + y₂) =

= 2x₁/(1 + y₂/y₁) = 2x₁/( 1 + x₁/x₂) = 2x₁x₂/(x₁ + x₂) .

Wir halten fest : x_m = 2x₁x₂/(x₁ + x₂) , d.h. x_m ist das harmonische Mittel aus x₁ , x₂ .

In der Figur ist x_m = 2•9•18/(9+18) = 2•18/(1+2) = 36/3 = 12