Unter einer Inversion versteht man eine Abbildung der ( Kartesischen) Ebene auf sich selbst mit den folgenden Eigenschaften. In der Ebene legt man einen Punkt O fest, der als Pol der Inversion bezeichnet wird. Gegeben sei nun ein beliebiger anderer Punkt A der Ebene. Vom Pol O aus zieht man einen Strahl durch A .Auf diesem Strahl liegt ein Punkt A’, für den gilt:
|OA|•| OA’| = 1 . A’ bezeichnet man als Inversionspunkt zu A; aus der Definitionsgleichung ergibt sich, dass auch A Inversionspunkt zu A’ ist. Ist das Produkt gleich einer reellen Zahl k, so handelt es sich um eine Inversion mit dem Pol O und der „Potenz“ k; in dieser Aufgabe befassen wir uns nur mit dem Fall k = 1 .
Zur Lösung von Teilen der Aufgabe benötigt man den Sekantensatz ( Sehnensatz) und dessen Sonderfall, den Sehnentangentensatz.
a) Gegeben sei die Menge der Punkte X mit |OX| = r ( r > 0 ) . Diese bilden den Kreis um O mit Radius r. Dieser geht bei der Inversion in den dazu konzentrischen Kreis mit Radius 1/r über. Bei welchem Wert von r ist die Summe aus den Umfängen der beiden Kreise minimal?
b) Zeigen Sie: Eine Gerade, welche durch den Pol verläuft, geht bei der Inversion in sich selbst über. Eine Gerade, welche vom Pol den Abstand 1 hat, geht bei der Inversion in einen Kreis mit dem Durchmesser 1 über, der die Gerade als Tangente hat und der durch den Pol geht.
c) Zeigen Sie: Ist A von O verschieden und A’ der Inversionspunkt von A, so geht ein Kreis, der AA’ als Sehne hat, bei der Inversion in sich selbst über. Folgern Sie daraus: Wenn A, B voneinander verschiedene Punkte der Ebene sind und A’, B’ die zugehörigen Inversionspunkte, so bilden A, B, A’,B’ ein Sehnenviereck.