a) r und 1/r können als Seitenlängen eines Rechtecks mit dem Inhalt 1 aufgefasst werden. Unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt ist das Quadrat dasjenige mit dem kleinsten Umfang. Also ist die Summe r + 1/r und damit die Summe der Umfänge 2π•(r + 1/r) genau dann am kleinsten, wenn 1/r = r oder r² = 1, also – wegen r>0 – wenn r = 1.

Man kann auch die Summe r + 1/r nach r ableiten und die Ableitung gleich Null setzen:

1 – 1/r² = 0, was wiederum r = 1 ergibt; die zweite Ableitung ist gegeben durch 2/r³; sie ist positiv, weshalb es sich um ein Minimum handelt. Der so gefundene Kreis ist der Einheitskreis; dieser geht bei der Inversion in sich selbst über; im Sinne der hier gestellten Aufgabe ist er zweimal zu zählen.

Bei der Inversion geht das Innere des Einheitskreises in das Äußere über (und umgekehrt)

b) Sei A ein Punkt einer Geraden durch den Pol, A ungleich O. Auf demselben Strahl wie A liegt auch der Punkt, der von O den Abstand 1/|OA| hat; eine Gerade durch den Pol geht also bei der Inversion in sich selbst über.

Der Winkel bei A ist ein rechter: (x+y)² = d² + 1 . Aus dem Sehnentangentensatz folgt

(x + y) • y = d². Also ist (x+y)² = (x+y)•y + 1 und damit (x+y)•x = 1 . Das heißt, dass P Inversionspunkt zu P’ ist und damit auch P’ Inversionspunkt zu P.

(Dass in der Zeichnung OP waagerecht verläuft, ist rein technisch bedingt)

c)

Nach Voraussetzung ist A’ Inversionspunkt zu A: |OA|•|OA’| = 1

Aus dem Sekantensatz folgt: |OA|•|OA’| = |OP|•|OP’| , also |OP|•|OP’| = 1

P’ ist Inversionspunkt zu P, P ist Inversionspunkt zu P’: Der Kreis geht bei der Inversion in sich selbst über.

Seien nun zwei voneinander verschiedene Punkte A, B gegeben mit den Inversionspunkten A’,B’. Durch die drei Punkte A, B, A’ geht genau ein Kreis ( die drei Punkte legen einen Kreis fest). Dieser geht nach dem eben Bewiesenen bei der Inversion in sich selbst über. Also liegt der Inversionspunkt B’ auf diesem Kreis.

Noch ein Hinweis zu dem eben beschriebenen Kreis.

Ein Punkt und sein Inversionspunkt liegen stets auf zwei verschiedenen Seiten des Einheitskreises; ist |OA| > 1, so ist |OA’|< 1 und umgekehrt. Der eben beschriebene Kreis schneidet also den Einheitskreis in zwei Punkten T₁,T₂ . Es ist |OT_1,2|•|OT_1,2| = |OT_1,2|² = 1 (Der Einheitskreis geht bei Inversion in sich selbst über). Aus |OT₁|² = |OP|•|OP’| und dem Sehnentangentensatz folgt, dass die Strahlen OT₁ und OT₂ Tangenten an dem Kreis sind.