Wir sind im Herbst und beobachten, wie die Blätter von einem Baum fallen. Zu Beginn der Beobachtungen seien an ihm noch N Blätter vorhanden. Nach einem Tag sind davon noch 90 % der Blätter vorhanden, nach dem zweiten Tag noch 80%. Am dritten Tag fallen kaum Blätter; so hängen am Ende des dritten Tages immer noch 80% der Blätter am Baum. Am Ende des vierten Tages sind es noch 60%, am Ende des fünften Tages noch 20%; dann kommt Sturm auf, und am Ende des sechsten Tages ist der Baum kahl. Das folgende Diagramm zeigt den beschriebenen Verlauf.

Wenn ein Blatt einen Tag am Baum verbracht hat, so hat es einen „Blatt-Tag“ absolviert – nur vollendete Tage zählen, keine angebrochenen. Im Verlauf des ersten Tages sind demnach 0.9N Blatt-Tage angesammelt worden, im Verlauf des vierten Tages 0,6N Blatt-Tage.

Ein Blatt, das am Ende eines Tages x am Baum hängt, hat noch eine bestimmte Zahl von Tagen vor sich; diese Zahl ist 0, wenn es im Verlauf des neuen Tages abfallen wird. Wir nennen diese Zahl seine Lebensdauer bezüglich des Tages x . Beispiel: Ein Blatt, das zu Ende des dritten Tages noch am Baum hängt und das im Verlauf des sechsten Tages abfallen wird,

hat die Lebensdauer 2 d ( der angebrochene sechste Tag zählt nicht); bezüglich des Zeitpunktes t = 0 hat es die Lebensdauer 5d.

Von der individuellen, tatsächlichen Lebensdauer bezüglich eines Tages x verschieden ist die Lebenserwartung eines Blattes bezüglich dieses Tages. Diese ist wie folgt definiert. Sie ist der Quotient aus der Summe der Lebensdauern aller am Tag x vorhandenen Blätter und der Anzahl dieser Blätter. Demnach ist sie eine durchschnittliche Lebensdauer: Man erhält die Lebenserwartung, wenn man die Summe aller Blatt-Tage, welche die vorhandenen Blätter noch ansammeln werden, gleichmäßig auf diese aufteilt. Die Definition der Lebenserwartung setzt voraus, dass man alle Lebensdauern, d.h. den gesamten Ablauf des Vorgangs bereits kennt oder einen fiktiven Ablauf zugrunde legt.

1. Erläutern Sie: Die Summe S₀ aller Blatt-Tage, welche die N Blätter im Verlauf des Blattfalls ansammeln, ist gegeben durch den Inhalt der Fläche, welche das Diagramm ( die „Treppenkurve“ ) mit den beiden Koordinatenachsen einschließt. Berechnen Sie S₀ .

Erläutern Sie ebenso: Die Summe S_i ( i = 1,2,3,4,5), welche die am Ende des i-ten Tages noch vorhandenen Blätter im Verlauf des Blattfalls ansammeln werden, ist gegeben durch den Inhalt der Fläche unter dem Teil der Treppenkurve, der rechts von t = i liegt. Berechnen Sie auch diese Summen.

2.

2.1. Berechnen Sie die Lebenserwartung eines Blattes, das zu Beginn der Beobachtungen (t=0) am Baum hängt.

2.2. Berechnen Sie die Lebenserwartung eines Blattes, das

2.2.1. nach zwei Tagen

2.2.2 nach drei Tagen

noch am Baum hängt.

Können Sie eine geometrische Interpretation der Lebenserwartung angeben?

3. Wenn man die Summe S₀ ( also die Summe aller Blatt-Tage von Beginn bis Ende des Blattfalls) durch die Dauer des gesamten Blattfalls teilt, so erhält man eine Blattzahl ( als Bruchteil von N ). Welche Bedeutung könnte man dieser Blattzahl beilegen, und wie kann man sie geometrisch interpretieren?

4. Die in den Aufgabenteilen 2 und 3 definierten Mittelwerte sind Beispiele von „Integralmitteln“. Bei dieser Mittelbildung wird die Fläche unter einer Kurve in einem x-y-Koordinatensystem übergeführt in ein Rechteck gleichen Inhalts. Als die eine Seite des Rechtecks wählt man den y-Achsenabschnitt ( im Beispiel 2.1.: N) oder den x-Achsenabschnitt der Kurve ( im Beispiel 3: 6d). Die andere Seite des Rechtecks ist dann das Mittel der anderen Variablen.

Geben Sie ein weiteres Beispiel eines Integralmittels an!

Lösung