1.

Betrachten wir den ersten Balken des Diagramms. Er hat den Flächeninhalt 0,9N•1d. Das ist die Summe der Blatt-Tage, welche am ersten Tag angesammelt werden. Gehen wir zum zweiten Balken. Der hat die Breite 2d und die Höhe 0,8N; im Verlauf des zweiten und dritten Tages werden zusammen 0,8N•2d Blatt-Tage angesammelt. Im Verlauf des vierten Tages sind es 0,6N•1d, im Verlauf des fünften Tages sind es 0,2N•1d Blatt-Tage; am sechsten kommt laut Definition der Blatt-Tage keiner mehr hinzu. Also gilt auch für den vierten, fünften, sechsten Tag, dass die Summe der an diesen Tagen jeweils angesammelten Blatt-Tage gegeben ist durch den Inhalt der Fläche unter der Treppenkurve.

S₀ = 0,9N•1d + 0,8N•2d + 0,6N•1d + 0,2N•1d = 3,3 N•d

Die Summe S₀ wird durch die Fläche unter der Treppenkurve repräsentiert ( das ist das bestimmte Integral der Funktion, hier der „Treppenfunktion“).

Lässt man in S₀ den ersten Summanden weg, so hat man die Blatt-Tage abgezogen, welche am ersten Tag angesammelt werden; es verbleiben die Blatt-Tage (Lebensdauern), welche die nach dem ersten Tag vorhandenen Blätter noch beibringen werden. Man erhält also S₁. Ebenso errechnet man die weiteren S_i .

S₁ = 2,4 N•d, S₂ = 1,6 N•d, S₃ = 0,8 N•d, S₄ = 0,2 N•d, S₅ = 0

Geometrische Interpretation: S_i wird repräsentiert durch den Inhalt unter der Treppenkurve rechts von t = i

2. 1 Summe der Lebensdauern/Summe der Blätter = S₀/N = 3,3d .

Die Lebenserwartung eines Blattes zu Beginn des Blattfalls beträgt 3,3 Tage

2.2.1 S₂ /(0,8N) = 2d ( und nicht etwa 3,3d – 2d = 1,3 d).

2.2.2. S₃/(0,8N) = 1 d ( und nicht etwa 3,3d-3d = 0,3d)

Das dick umrandete Rechteck mit den Seitenlängen N ( Anfangswert, wenn t = 0) und 3,3d(mittlere Lebensdauer, wenn t=0) hat den gleichen Inhalt wie die Fläche unter der Treppenkurve.

3. Würde man als eine Rechteckseite den Abschnitt 0 bis 6 auf der t-Achse wählen, so hätte die andere Rechteckseite die Länge 3,3Nd/6d = 0,55N. Der Wert 0,55N kann als die mittlere Blattzahl über den Beobachtungszeitraum von 0 bis 6d aufgefasst werden.

Ich füge noch den Fall 2.1. ( Anfangswert 0,8N) bei. Das dick umrandete Rechteck mit den Seitenlängen 0,8N und 2d ( = 4d-2d) hat den gleichen Inhalt wie die Treppenkurve rechts von t = 2d

Übrigens ist die Lebenserwartung nach 4 Tagen nicht etwa 0 - die „Frist“ bei t= 0 war ja nur 3,3d - , sondern gleich 0,2Nd/0,6N = 0,33d, also gleich acht Stunden.

4. Ein Kugelstoßer beschleunige seine Kugel aus der Ruhelage heraus längs einer geraden Strecke, die mit konstanter Neigung schräg nach oben verläuft. Er muss zunächst die Hangabtriebskraft aufbringen, um die Kugel überhaupt auf der Bahn zu halten; die darüber hinaus von ihm aufgewendete Kraft F dient der Beschleunigung der Kugel. Bezeichnet man mit Δt die Zeit, während der die Beschleunigung stattfindet und trägt man F gegen Δt auf, so gibt das Integral unter der Kraft-Zeit-Kurve ( die Fläche unter der Kurve) den Impuls M•v an, mit dem die Kugel davonfliegt. (M bezeichnet die Masse der Kugel, v ihre Geschwindigkeit, mit der sie davonfliegt). Die mittlere Kraft F ist die konstante Kraft, welche der Kugel in der gleichen Zeit den gleichen Impuls verleihen würde. Das Rechteck mit den Seitenlängen F und Δt hat den gleichen Inhalt wie die Fläche unter der Kraft-Zeit-Kurve ( F ist hier grob geschätzt).

Der Kugelstoßer ist also gut beraten, wenn er mit hoher Anfangskraft loslegt – Wert der Kraft zu Beginn der Beschleunigung – dann die Kraft möglichst erhöht, aber doch nicht so, dass er gegen Ende „einbricht“.

Ein „Lehrbuchbeispiel“ einer mittleren Lebensdauer ist aus dem radioaktiven Zerfall bekannt. Eine Substanz zerfalle gemäß dem Zerfallsgesetz N(t) = N(0)•exp( - λ•t) .

Die mittlere Lebensdauer ist gleich dem Quotienten aus dem bestimmten Integral von N(t) in den Grenzen von 0 bis unendlich und dem Anfangswert N(0). Das bestimmte Integral erhält man aus der Stammfunktion von N(t), indem man die obere Grenze T über alle Grenzen wachsen lässt: (N(0)/λ)( 1 – exp( - λ•T)) → N(0)/ λ . Division mit N(0) ergibt die mittlere Lebensdauer 1/λ .

Dieser Wert – und das ist typisch für die Exponentialfunktion – ist nicht abhängig vom gewählten Anfangszeitpunkt! Gleichgültig, zu welchem Zeitpunkt man sich den radioaktiven Zerfall anschaut- ob jetzt oder in hunderttausend Jahren – die mittlere Lebensdauer eines noch nicht zerfallenen Teilchens ist gleich 1/λ. Man sagt dazu: Solche Teilchen „altern nicht“.