Eine junge Familie nimmt ein Darlehen in Höhe von 150 000€ zum Hausbau auf. Der Berater schlägt folgenden Tilgungsplan vor. Im ersten Jahr zahlt die Familie 3,5% Zinsen auf das volle Darlehen plus 2% des Darlehens als Tilgung. Diese Jahresrate ( „Annuität“) bleibt ebenso wie der Zinssatz von 3,5% während der gesamten Laufzeit des Kredits unverändert. Da fortlaufend getilgt wird, nimmt der Zinsanteil an der Jahresrate ab, und in gleichem Umfang wächst jeweils der Tilgungsanteil. Zwar wird man nach Ablauf von zehn Jahren erneut über die Darlehensbedingungen verhandeln, aber zur vorläufigen Berechnung der Rückzahlung werden die genannten Bedingungen als gleichbleibend angesehen. Die Familie möchte, dass der Kredit spätestens nach Ablauf von dreißig Jahren getilgt sein wird. Kann das unter den gegebenen Bedingungen erreicht werden? Um diese und andere Fragen zu beantworten, gehen wir in folgenden Schritten vor.

Lösung

a) Wie hoch ist die Jahresrate? Wie groß ist der Tilgungsanteil im ersten Jahr?

b) Wie berechnet man den Tilgungsanteil t_m+1 im (m+1)-ten Jahr aus dem Tilgungsanteil t_m im m-ten Jahr? Berechnen Sie im gegebenen Fall t₂, t₃ und t₉ .

c) Bestimmen Sie den Term der Summe S_n = t₁ + t₂ + ...t_n , d.h. des nach n Jahren insgesamt getilgten Betrages.

d) Wäre im gegebenen Beispiel der Kredit nach dreißig Jahren zurückgezahlt?

e) Wie groß ist das Restdarlehen nach Ablauf von 10 Jahren?