a) Jahresrate: (0,035 + 0,02)•150 000€ = 8250€.

Davon Tilgung t₁ = 0,02•150 000€ = 3000€ =:c

b) Das im (m+1)-ten Jahr noch zu verzinsende Darlehen ist gegenüber dem m-ten Jahr um t_m kleiner geworden. Damit sind 0,035•t_m Zinsen weniger zu entrichten, und dieser Betrag wird dem Tilgungsanteil hinzugefügt. Dieser beträgt damit t_m+1 = t_m + 0,035•t_m = t_m•1,035 .

Es folgt: t₂ = c•1,035 = 3105€; t₃ = c•1,035² = 3213€; t₉ = c•1,035⁸ = 3950€

c) S_n = c• ( 1 +1,035+1,035² + ...+ 1,035^n-1) = c•(1,035ⁿ –1)/0,035 = 3000€•(1,035ⁿ –1)/0,035

In allgemeiner Form: Ist p der Zinssatz, a der Prozentsatz der Tilgung in der ersten Rate, k das gewährte Darlehen, so gilt: S_n = (0,0a•k)•((1,0p)ⁿ – 1)/0,0p = (a/p)•k•((1,0p)ⁿ – 1)

d) Einsetzen n = 30 in c) ergibt S₃₀ = 154868 > 150 000 . Das Darlehen wird unter den gegebenen Bedingungen in weniger als 30 Jahren zurückgezahlt sein.

Will man n berechnen, so setzt man in die allgemeine Form von c) ein: S_n = k, und es folgt

p/a + 1 = (1,0p)ⁿ und n = ( log(p/a + 1))/log(1,0p) ; Einsetzen von p/a = 3,5/2 und

1,0p = 1,035 ergibt n = 29,41 . Die Rückzahlung endet demnach im dreißigsten Jahr.

e) S₁₀ = 3000€•(1,035¹⁰ – 1)/0,035 = 35194,18€. Die Restschuld beträgt noch 114 805,82€