a) Der Istwert errechnet sich wie folgt.
60000€•( 1 – (60/360)•0,03) = 60000€•( 1- 0,005) = 60000€ - 300€ = 59700€ .
Die Bank zahlt dem Kunden 59700€ aus.
b) Der Istwert errechnet sich wie folgt. Wir kürzen ab: 1,0p =: q
r•( q-1 + q-2 + … + q-10 ) = r•q-1 •( 1 + q-1 + … + q-9) = r•q-1•( (1- q-10)/(1 – q-1))
Erweitern mit q ergibt: r•( 1 – q-10)/(q – 1) . Jetzt setzen wir q = 1,0p ein und damit q-1 = 0,0p .
Der gesuchte Istwert ergibt sich zu: r• (100/p)•( 1 – (1,0p)-10 )
Im Fall r = 2000€ und p = 5 erhält man 2000€• 20• 0,386 = 2000€• 7,72 = 15440€ .
Der Istwert im Fall einer Zahlung von n Jahresraten ergibt sich zu: r• (100/p)•( 1 – (1,0p)-n ).
Wächst n über alle Grenzen, so strebt der Istwert gegen r• (100/p) , im Fall p=5 also gegen 20r.
Ich möchte noch eine Anmerkung für Freunde der Integralrechnung anfügen.
Angenommen, die Ratenzahlung würde nicht in jährlichen Beiträgen in der Höhe r erfolgen, sondern r wäre eine „Ratendichte“ und r•dt würde die Zahlung in einem Zeitintervall von t bis t+dt bedeuten. Der Istwert dieser Teilzahlung wäre (1,0p)-t • r•dt = e-ln(1,0p)•t rdt = e-s •t • r•dt mit s= ln(1,0p). Integration von 0 bis ∞ ergäbe dann den Istwert der gesamten Zahlung. Und dieses Integral ist die Laplace-Transformierte der konstanten Funktion r mit s = 1,0p ! Rechnet man die Laplace Transformierte aus, so erhält man r/s = r/ln(1,0p) ≈ r/0,0p = r•(100/p) , falls 0,0p<<1.