Mit dieser Aufgabe machen wir einen Abstecher in die Wahrscheinlichkeitsrechnung; das ist – noch – nicht der Brauch in den Aufgaben der Mathematikolympiade, aber die Chancen zu sinnvollen Modellierungen sind doch zu verlockend. Sehen wir zu!
Bei einer jeden Messung treten zufällige Fehler und oft auch systematische Fehler auf. Bei der Messung der Breite eines Beetes mit Hilfe eines Zollstocks beispielsweise wird aufgrund der unebenen Beschaffenheit des Untergrundes immer eine Abweichung vom wahren Wert auftreten; wäre gar der Maßstab des Zollstocks verzerrt, würde zusätzlich ein systematischer Fehler entstehen.
In einer ersten Näherung kann man den Zufallsfehler einer Messung als eine Zufallsgröße X mit folgender Verteilung ansehen . x bezeichnet dabei den zufälligen Fehler ( im Beispiel etwa 1 cm).
| x | -1 | 1 |
| p(X=x) | ½ | ½ |
a) Geben Sie den Erwartungswert E(X) an und berechnen Sie die Streuung σ
b) Um die Genauigkeit zu erhöhen, wird man n Messungen durchführen und den Mittelwert der Messwerte bilden. Sind die Messungen unabhängig voneinander, so bildet das n-Tupel der Messwerte (X1, X2, ...,Xn) eine Stichprobe des Umfanges n der angegebenen Zufallsgröße. Summiert man die n Messwerte auf, so streut dieses Summe um n•E(X) + n1/2•σ , wobei der Term n1/2•σ aus der Summenregel der Varianz folgt ; bildet man dann das arithmetische Mittel der n Messwerte, so streut das Ergebnis um E(X) + σ/n1/2 .
Geben Sie für die oben gegebene Verteilung in den Fällen n = 10 und n = 100 die Größen
n•E(X) + n1/2•σ und E(X) + σ/n1/2 an.
c) Im folgenden sind zwei weitere Verteilungen einer Zufallsgröße X gegeben. Füllen Sie die beiden zugehörigen Tabellen aus. Könnten auch diese beiden Verteilungen jeweils eine Messung beschreiben? Welche Besonderheit hätte diese Messung?
x | -1 | 1 | E(X) | σ | 10•E(X) + 101/2•σ | E(X) +σ/101/2 |
P(X=x) | 0,3 | 0,7 |
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x | -1 | 0 | 1 | E(X) | σ | 10•E(X) + 101/2•σ | E(X) +σ/101/2 |
P(X=x) | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
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d) In den vorhergehenden Aufgabenteilen wurden die drei Verteilungen als modellhafte Beschreibung eines Messvorganges aufgefasst. Lassen sich die Verteilungen auch zur Modellierung eines anderen physikalischen Vorganges verwenden? Beachten Sie dazu insbesondere den Term n1/2•σ .