a) E(X) = 0; E(X2) = (-1)2•1/2 + 12•1/2 = 1; Var(X)= E(X2) – (E(X))2 = 1; σ = 1
b) 10•E(X) + 101/2•σ = + 3,16; E(X) +σ/101/2 = +0,32
100•E(X) + 1001/2•σ = + 31,6; E(X) +σ/1001/2 = +0,1
c) Erste Tabelle:
E(X) = -1•0,3 + 1•0,7 = 0,4; E(X2) = 0,3 + 0,7 = 1; Var(X)= 1-0,16 = 0,84; σ = 0,92
x | -1 | 1 | E(X) | σ | 10•E(X) + 101/2•σ | E(X) +σ/101/2 |
P(X=x) | 0,3 | 0,7 | 0,4 | 0,92 | 4 + 2,9 | 0,4 + 0,29 |
Das ist das Modell einer Messung mit einem systematischen Fehler ( 0,4) plus dem zufälligen Fehler ( bei 10 Messungen + 0,29; bei hundert Messungen wäre der systematische Fehler unverändert gleich 0,4; der zufällige würde auf 0,092 sinken.
Zweite Tabelle:
E(X)= -0,1+0+0,5=0,4; E(X2) = 0,1+0,5=0,6; Var(X) = 0,6-0,16= 0,44; σ = 0,66
x | -1 | 0 | 1 | E(X) | σ | 10•E(X) + 101/2•σ | E(X) +σ/101/2 |
P(X=x) | 0,1 | 0,4 | 0,5 | 0,4 | 0,66 | 4 + 2,1 | 0,4 + 0,2 |
Es handelt sich wieder um eine Messung mit dem systematischen Fehler von 0,4. Die Streuung ist wesentlich kleiner, da vierzig Prozent der Messungen praktisch fehlerfrei sind
d) Die in den Teilen a) und b) behandelte Verteilung ist das Modell einer zufälligen Wanderung mit der Schrittlänge + 1; damit ist das Modell einer Diffusion gegeben. Nimmt man pro Zeiteinheit einen zufälligen Schritt nach links oder nach rechts an, so ist die Streuung nach t Zeiteinheiten proportional zur Wurzel aus t. Das ist das Weg – Zeit- Gesetz eines Diffusionsvorganges! Man kann sich eine Wolke vorstellen, deren Zentrum bei 0 verbleibt, und deren Ränder sich proportional zur Wurzel aus t ausbreiten.
Die erste Tabelle in Teil c) würde einen Diffusionsvorgang beschreiben, bei dem ein Gradient nach der positiven Seite vorliegt; nach zehn Schritten wäre der Mittelpunkt der Wolke bei 4 angekommen; zusätzlich würde sie sich nach links und rechts um rund 2,9 ausgedehnt haben.
Die zweite Tabelle in Teil c) würde einen Diffusionsvorgang beschreiben, bei dem wiederum ein Gradient nach rechts vorliegt; nach zehn Schritten wäre der Mittelpunkt der Wolke bei 4 angekommen; allerdings würde die zufällige Ausbreitung nach links und nach rechts wesentlich kleiner ausfallen als im Fall der ersten Tabelle. Die Wolke würde enger zusammenbleiben. Das liegt an der recht hohen Wahrscheinlichkeit von 0,4, dass ein diffundierendes Teilchen sich überhaupt nicht von der Stelle bewegt; man kann sich eine Wolke vorstellen, in der zufällig wirkende Kohäsionskräfte vorhanden sind, etwa van der Waals – Kräfte.