Gegeben ist ein nach oben offener Glaszylinder ( Höhe H = 10cm, Durchmesser d = 8 cm).

a) Das Gefäß werde randvoll mit Wasser gefüllt ( Massendichte 1 Gramm/cm³). Wie viel Gramm Wasser befindet sich in dem Glaszylinder?

b) Das Gefäß wird mit einer sirupartigen Flüssigkeit randvoll gefüllt. Nach einiger Zeit entmischt sich diese etwas, so dass die Massendichte nicht überall in der Flüssigkeit gleich ist. Vielmehr hat sie im tiefsten Punkt den Wert 2 gr/cm³, nimmt linear nach oben ab, bis sie an der Oberfläche den Wert 1 gr/cm³ erreicht.

Wie viel Gramm Flüssigkeit befinden sich jetzt im Glaszylinder ?

c) Eine lineare Verteilung der Dichte anzunehmen wie im Aufgabenteil b) ist nur eine erste Näherung. Wirklichkeitsnäher ist es, wenn man annimmt, dass die Dichte exponentiell mit dem Abstand vom Boden abnimmt. (Ein Beispiel eines solchen Verlaufs einer Dichte findet sich in der Erdatmosphäre ( barometrische Höhenformel) ).

Nehmen wir also an, die Dichte ρ hänge in folgender Weise von x ab, wobei x den Abstand vom Boden des Gefäßes bezeichnet: ρ(x) = (2,5 gr/cm³)•exp(- k•x) ; k = 0,08 cm^-1.

Das Gefäß werde randvoll mit einer Flüssigkeit gefüllt, die diese Dichteverteilung hat. Wie groß ist die Masse der eingefüllten Flüssigkeit?

Lösung