Lösen wir zunächst die rechte der beiden Ungleichungen
a2 + b2 + c2 ≤ 1<o:p></o:p>
Nach Voraussetzung ist a + b + c = 1 , und damit (a + b + c )2 = 1
Ausrechnen des Quadrates und Zusammenfassen :a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 1
Odera2 + b2 + c2 =1 – 2 (ab +ac +bc )<o:p></o:p>
Da a,b,c nach Voraussetzung positiv sind,gilta2 + b2 + c2 ≤ 1
Das Gleichheitszeichen gilt für den Fallab+ac+bc = 0. Da a,b,c positiv sind, muss jedes der Produkte ab,ac,bc in diesem Fall gleich Null sein, und das bedeutet, dass höchstens eine der drei Zahlen von Null verschieden sein kann. Andererseits muss ihre Summe gleich 1 sein.
Somit steht das Gleichheitszeichen in den Fällen a=1,b=0,c=0 und a=0,b=1,c=0 und a=0,b=0,c=1.
Kommen wir nun zur linken der beiden Ungleichungen
1/3 ≤ a2 + b2 + c2<o:p></o:p>
Die Voraussetzung a+b+c =1 bedeutet, dass das arithmetische Mittel der drei Zahlen gleich 1/3 ist. Das bringt uns auf die Idee,die Differenzen der drei Zahlen zu 1/3 einzuführen:
δa = 1/3 –a,δb = 1/3 – b und δc= 1/3 – c .Es gilt wegen a+b+c= 1: δa +δb + δc= 0
Es ist zu zeigen: 1/3 ≤(1/3 – δa)2 +(1/3 – δb)2 + (1/3 – δc)2 <o:p></o:p>
Ausrechnen der Quadrate, Zusammenfassen und Berücksichtigen, dass δa+δb +δc = 0 führt zur Ungleichung :1/3 ≤ 1/3 + δa2 + δb2 + δc2oder 0 ≤ δa2 + δb2 + δc2.
Damit ist die Ungleichung bewiesen.
Gleichheit gilt im Fall, dass die drei Differenzen gleich Null sind oder a=b=c=1/3
Wenn man will, kann man zur Lösung dieses Teils der Ungleichung schweres Geschütz auffahren, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Sind xi, yi ( i = 1,2,....,n ) reelle Zahlen, so besagt diese Ungleichung, dass gilt:
( x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)2 ≤ ( x12 + x22 + … + xn2)(y12 + y22 + …+ yn2)<o:p></o:p>
Wählt man n = 3 und y1 = y2 = y3 = 1, so geht die Ungleichung über in
(x1 + x2 + x3)2 ≤ (x12 + x22 + x32)• 3, und mit x1 + x2 +x3 = 1 erhält man die zu beweisende Ungleichung.
Schließen wir noch ein paar Überlegungen zur Aufgabe an.
Wie gerade gesehen, wird zum Beweis der linken Ungleichung nur die Voraussetzung a+b+c=1 benötigt, nicht aber die, wonach a,b,c positive Zahlen sind. So ist z.B. a= -1, b=0, c=2 eine Lösung der linken Ungleichung.
Allerdings löst dieses Tripel die rechte Ungleichung nicht. Muss für deren Gültigkeit vorausgesetzt werden, dass a,b,c alle positiv sind, oder genügt eine schwächere Voraussetzung?
Notwendig und hinreichend dafür, dass die rechte Ungleichung gilt, ist
ab + ac +bc ≥ 0 Û a(1-a) + b(1 – a – b) ≥ 0.<o:p></o:p>
Aufgefasst als quadratische Gleichung zur Bestimmung von b in Abhängigkeit von a kommt man zu
( b – (1-a)/2)2 ≤ a(1-a) + ((1-a)/2)2
Die rechte Seite muss postiv sein:a(1-a) + ((1-a)/2)2 ≥0 Û ( 1 – a)(3a + 1) ≥ 0
Þ ( (1-a)≥ 0 und zugleich (3a+1)≥ 0 ) oder auch ( (1-a)≤ 0 und zugleich(3a + 1) ≤ 0)
Û ( 1≥ a und zugleicha ≥ - 1/3 ) oder auch (1≤ a und zugleicha ≤ -1/3)
Die erstgenannten Bedingungen ergeben das Intervall[ -1/3; 1] , <o:p></o:p>
die anderenergeben keine Lösung.
Es folgt, dass a,b,c, aus dem genannten Intervall gewählt werden müssen.
Tatsächlich ist z.B.a = -1/3, b = 2/3, c = 2/3 eine Lösung der gestelltenAufgabe.
Es hätte als Voraussetzung für a,b,c neben der Gleichung a + b + c = 1 genügt, zu verlangen, dass sie größer oder gleich –1/3 sein müssen. Aber das hätte die Lösung der Aufgabe erschwert.