1 + 3 = 4,1+3+5 = 9, 1+3+5+7 = 16, 1+3+5+7+9 = 25; es folgen 36, 49, 64

Vermutung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich n².

2 + 4 = 6; 2+4+6 = 12; 2+4+6+8 = 20; es folgen 30, 42, 56

Wegen 6 = 2∙3, 12 = 3∙4, 20 = 4∙5, 30 = 5∙6, 42 = 6∙7 und 56 = 7∙8 kann man vermuten:

Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist gleich n∙(n+1)

Die Pythagoräer nannten die letztgenannten Zahlen „Rechteckzahlen“ im Gegensatz zu den „Quadratzahlen“ aus der ersten Folge.

Beweise aus dieser frühen Zeit gibt es kaum; so ist z.B. nicht bekannt, ob Pythagoras den nach ihm benannten Satz bewiesen hat.

Zum Beweis verwenden wir die Summenformel 1 + 2 + 3 + ...+ n = n∙(n+1)/2

1 + 3 + 5 + ... + 2(n-1) +1 = 1 + (2∙1+ 1) + (2∙2 + 1) + ...+ (2(n-1) + 1) =

= n + 2∙( 1 + 2 + ...+ (n-1)) = n + 2∙(n-1)∙n/2 = n + (n-1)n = n + n² – n = n²

Und die Summe der ersten n geraden Zahlen ist gegeben durch

2 + 4 + ....+ 2n = 2∙( 1 + 2 + ... + n) = 2∙n∙(n+1)/2 = n∙(n+1)

Die Herleitung der genannten Summenformel ist (bisher noch ) eine „Schulbuchweisheit“.

Man schreibt die Summe zweimal auf, einmal in gewohnter, dann in umgekehrter Reihenfolge und addiert:

1 + 2 + 3 + .....+ n-1+n

=n∙(n+1)

Damit ist die gesuchte Summe gegeben durch n∙(n+1)/2