Um nicht ständig von „3-er-Rest“ oder „Rest bei Teilen durch m“ u.dgl. reden zu müssen, führen wir die folgende, in der Zahlentheorie übliche Schreibweise ein.
Wenn zwei natürliche Zahlen x und y beim Teilen durch eine natürliche Zahl n denselben Rest ergeben oder, was dasselbe ist, wenn zwei natürliche Zahlen x und y sich nur um ein ganzzahliges Vielfaches von n unterscheiden, so sagt man : „x ist kongruent y modulo n“. Im Zeichen:
x ≡ y mod n.Beispielsweise gilt : 14≡ 26 mod 3oder 12 ≡ 2 mod 5 oder 144 ≡ 0 mod 12.
Ist eine Zahl r Teiler einer Zahl s ( im Zeichen r | s, so gilt s ≡ 0 mod r)
Fangen wir mit Alexanders Aussage an. Und wir liefern gleich ein Beispiel: 10 und 11 sind zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die beide nicht durch 3 teilbar sind. Ihre Summe, die Zahl 21, ist durch 3 teilbar.
Seien nun x, y natürliche Zahlen, die beide nicht durch 3 teilbar sind, und sei y = x +1.
Wenn x nicht durch 3 teilbar ist, so gilt x≡ 1 mod 3 oder x ≡ 2 mod 3. Im ersten Fall ist y≡2mod3, im zweiten Fall y≡3 mod 3 und damit y≡0mod 3, was aber nach Voraussetzung nicht sein darf, da y nicht durch 3 teilbar sein darf.Folglich muss gelten: x ≡ 1 mod 3 und y≡2mod3. Damit ist x + y ≡ 3mod 3 oder x + y ≡ 0mod 3, d.h. 3 | x +y.
Die Aussage Alexanders ließe sich auch noch ohne die hier eingeführte Schreibweise ohne größeren Aufwand beweisen: Zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die beide nicht durch drei teilbar sein dürfen, haben die Dreierreste 1 und 2. Ihre Summe hat damit den Dreierrest 1+2 = 3, d.h. sie ist durch 3 teilbar.
Gehen wir nun zu Biancas Aussage. Seien x, y, z, drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die alle nicht durch 4 teilbar sind. Dann ist x ≡ 1 mod 4, y ≡ 2 mod 4, z ≡ 3 mod 4, und damit x+y+z ≡ (1+2+3)mod 4 , also x+y+z ≡ 6 mod 4 und schließlich x + y+ z ≡ 2 mod 4. Eine Zahl, welche den Viererrest 2 hat, muss gerade sein.
Und nun zur Aussage von Christian.
Seien x1, x2, ...., xm – 1 m-1 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die alle nicht durch m teilbar sind.
Dann ist x1 ≡ 1 mod m, x2 ≡ 2 mod m und schließlich xm – 1 ≡ (m-1)mod m.
Für die Summe dieser Zahlen S gilt:S ≡ ( 1 + 2 + ... + (m-1)) mod m oder
S ≡ ( m•(m-1)/2) mod m( Hier haben wir die Summenformel 1 + 2 + ... + n = n•(n+1)/2 benutzt)
Sei nun m gerade. Dann ist m/2 eine natürliche Zahl, nennen wir sie r.
S≡ (r•(m-1)) mod m . Damit giltS = r•(m – 1) + k•m = r•(m-1) + k•2r = r•(2k+m-1)
( k ist ganzzahlig).Es folgt r | S, was zu beweisen war.
Sei nun m ungerade. Dann ist (m-1)/2 eine natürliche Zahl, nennen wir sie p. Es folgt:
S ≡ (m•p)mod m . Damit ist S = m•p + u•m ( u ist ganzzahlig), und damit S = (p+u)•m
oder m | S , was zu beweisen war.