Die Summe s₁ der einstelligen Zahlen ohne die Null ist 1+2+3+...+9 = 9•5 = 45

Wir haben hier die Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen verwendet: 1+2+3+...+n = n•(n+1)/2 . Freilich muss man nicht auf diese Formel zurückgreifen; für den weiteren Verlauf der Aufgabe wird sie auch nicht benötigt.

Es gibt 9•9 = 81 zweistellige Zahlen, welche nicht die Null als Ziffer enthalten. Wir ordnen sie in folgendem Schema an.

111213. . .19<o:p></o:p>

212223. . . 29

313233. . . 39<o:p></o:p>

.....

.....

 <o:p></o:p>

919293. . . 99

Im Lösungsheft der Mathematikolympiade wird nun als nächster Schritt vorgeschlagen, die Zahlen spaltenweise zu addieren. Dabei ergibt sich für die erste Spalte 10•s₁ + 9•1, für die zweite Spalte 10•s₁ + 9•2, für die dritte 10•s₁ + 9•3, u.s.w., für die neunte schließlich 10•s₁+9•9. Für die Summe s₂ ergibt sich damit s₂ = 90•s₁ + 9•s₁ = 99•s₁ = 9•11•9•5 = 9²•55 = 4455

Als wir die Aufgabe in unserem Mathematikzirkel rechneten, kam von dem Schüler Raphael Schütz der Vorschlag, die Summe s₂ wie folgt zu bilden:

11+12+13 + ... + 19+21 +......+ 99( = s₂)

                      +99+98+97 + ... + 91+89 +....+ 11( = s₂)<o:p></o:p>

Also: 2s₂=110+ 110 + 110+ ...+110 + 110+…+110 = 81•110 und s₂ = 81•110/2 = 4455<o:p></o:p>

Diese Herleitung erinnert an die Art und Weise, wie man die oben genannte Formel zu Errechnung der ersten n natürlichen Zahlen findet, und im Jahr der Mathematik muss man nicht an die legendenumwobene Entdeckung dieser Formel durch den Knaben Carl Friedrich Gauß erinnern. Jedoch hat Raphael diese Formel nicht direkt benutzt, denn die hier zu addierenden Zahlen sind nicht die Glieder einer arithmetischen Folge. Vielmehr hat er das Verfahren,das beim Beweis der Formel verwendet wird, sinngemäß angewandt, ein schöner Hinweis darauf, wie wichtig im Mathematikunterricht Beweise sind.

Jedenfalls erscheint mir seine Vorgehensweise eleganter zu sein als die, welche wir „Erwachsene“ uns ausgedacht haben, und wir wollen uns im nächsten Schritt an seine Lösung halten.

Die Summe s₃ besteht aus 9³ = 729Zahlen. Wir ordnen auch diese in einem rechteckigen Muster an, wobei jede der neun Spalten 81 Zahlen enthält ( Die fett gedruckten Ziffern repräsentieren genau die 81 Zahlen, die wir eben zu addieren hatten).

111112113. . . 119

121122123. . . 129

. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

191192193. . . 199

211212213. . . 219<o:p></o:p>

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

991992993. . . 999

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Wir bilden die Summe s₃ so wie eben s₂ :2s₃ = 9³•1110 und s₃ = 9³•555 = 404595

Wie würden die Summen s₄, s₅, ...s_n zu bilden sein?

Im nächsten Schema wären 9⁴ Zahlen vorhanden; die erste wäre 1111, die letzte 9999, und damit s₄ = 9⁴•5555, s₅ = 9⁵•55555,s_n = 9ⁿ•55...5 , wobei die zweite Zahl aus n aufeinanderfolgenden Ziffern 5 gebildet wird.