Zu meinem Eintritt in den Ruhestand haben mir die Buben und Mädchen der Klasse 8b, die ich bis dahin in Mathematik unterrichtet hatte, ein Geschenk gemacht, das mir seither viel Freude bereitet hat. Sie hatten einen Kalender gefertigt, und zu jedem zweiten Monat gab es ein mathematisches Rätsel. Die September – Aufgabe führte auf ein System von linearen Ungleichungen.
Systeme von linearen Ungleichungen kann man in ähnlicher Weise angehen wie Systeme von linearen Gleichungen, z.B. nach dem folgenden Muster, das an das Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme erinnert.
Seien A, B, C, D Terme und sei k eine positive Zahl. Es gelte das System (1),(2):
(1) A ≥ B, (2) C ≥ D => k•A ≥ k•B => (1’) A ≥ B , (2’) k•A + C ≥ k•B + D
Wie wir noch sehen werden, ist diese Umformung zwar notwendig, aber nicht äquivalent. Will heißen: Lösungen des Systems (1),(2) sind auch Lösungen des Systems (1’),(2’). Aber (1’),(2’) können darüber hinaus Lösungen enthalten, welche das ursprüngliche System (1),(2) nicht lösen. Und so geht man wie folgt vor. Man formt nach dem beschriebenen Muster um mit dem Ziel, möglichst enge Intervalle zu finden, in dem die Lösungen des ursprünglichen Systems liegen müssen. Dann folgt die Probe: Die „Lösungsvorschläge“ werden in das ursprüngliche System eingesetzt, um die echten Lösungen zu finden.
Mit a, b und c seien die Maßzahlen der in cm gemessenen Seitenlängen eines Dreiecks bezeichnet. Über sie ist folgendes bekannt.
Die drei Zahlen sind ganze Zahlen.
Die Summe aus a und c ist um 13 größer als b.
Das Doppelte von a ist mindestens so groß wie b.
Das Dreifache von b ist nicht größer als das Doppelte von c.
Addiere ich zum Dreifachen von a das Doppelte von c, so erhalte ich mindestens 56.
Lassen sich aus diesen Angaben die Zahlen a, b und c bestimmen?