Hinweis: Zur Lösung benötigt man - wie auch bei einigen anderen Aufgaben dieser Seite – den folgenden Zusammenhang. Seien a, b, m natürliche Zahlen. Wenn r_a, r_b die Reste bezeichnen, welche sich bei Division der Zahlen a bzw. b durch m ergeben, so haben die Produkte a • b und r_a•r_b bei Division durch m denselben Rest: a•b ≡ (r_a•r_b)mod(m) ( in der Fachsprache: Die Multiplikation im Ring der Restklassen modulo m ist wohldefiniert, d.h. sie hängt nicht von der Auswahl der Repräsentanten ab). Zur Lösung des Aufgabenteiles d) sind Kenntnisse zum Rechnen mit Logarithmen erforderlich.

a) Berechnen Sie die Reste, die sich bei Division der Potenzen der Zahl 3 durch 7 ergeben. Weshalb genügt es, die Reste bis zur Potenz 3⁶ auszurechnen? Welchen Siebener-Rest haben die Zahlen 3⁶⁰, 3³²⁰ und 3¹²¹¹ ?

b) Berechnen Sie die Reste, die sich bei Division der Potenzen der Zahl 2 durch 5 ergeben. Berechnen Sie die Fünfer-Reste der Zahlen 2¹², 2¹⁹⁵ und 2⁶¹³ .

c) Welcher Rest ergibt sich, wenn man 12³⁸⁴⁵⁶² durch 13 teilt? Welches ist die Endziffer ( im Zehnersystem) der Zahl 9²¹⁹ ?

d) Wie viele Stellen im Zehnersystem hat die Zahl 2¹⁹⁵ ?

Lösung