In dieser Aufgabe geht es um eine eindimensionale zufällige Wanderung der Länge 2. Was ist damit gemeint?
Eine kleine Masse startet im Nullpunkt der Zahlengeraden. Sie führt zufällig einen Sprung der Weite 1 in +x- Richtung ( nach rechts, abgekürzt: R) oder in -x-Richtung ( nach links , abgekürzt: L) aus. Sie landet nach einem solchen Sprung also bei x = 1 oder bei x = -1. Von dort aus führt sie einen zweiten solchen zufälligen Sprung aus und landet bei +2 oder 0 (wenn sie zuvor bei +1war) oder bei -2 oder 0 ( wenn sie zuvor bei -1 war). Insgesamt gibt es vier Möglichkeiten dieser Wanderung; wir schreiben sie in einer Tabelle auf:
 

Die dritte Spalte ist noch offengelassen; der Aufgabenteil a) wird darin bestehen, diese Spalte auszufüllen.
Mit p bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Sprunges der Weite 1 nach rechts, dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit eines Sprunges der Weite 1 nach links.

a) Vervollständigen Sie die Tabelle

b) Für welchen Wert von p ist die Wahrscheinlichkeit P(0), dass der Endpunkt 0 ist, am größten?

c) Die Wahrscheinlichkeit P(0) soll kleiner als ¼ sein. Für welche Werte von p ist das der Fall?

Lösung