Kaufmann Jens betreibt eine Eisenwarenhandlung. Da seine Stammkundschaft nichts von komplizierten Rabatten oder anderen verwirrenden Preisgestaltungen hält, setzt Jens gewöhnlich zu jeder Ware einen gleichbleibenden Preis fest. Eines Tages jedoch überlässt ihm sein Großhändler einen Posten einer Ware, die nicht ins bisherige Sortiment passt, sodass Jens aus seinen Erfahrungen keinen Stückpreis herleiten kann. Dieses eine Mal muss er experimentieren, und er macht die folgenden Beobachtungen.
a) Bei Stückpreisen oberhalb von 20€ ist die Ware unverkäuflich. Senkt Jens den Stückpreis y unter diese Grenze, geht der Verkauf los. Jens senkt den Preis in Schritten von 1€, und nach den ersten paar Senkungen bemerkt er, dass bei jeder Senkung um 1€ vier weitere Stücke verkauft werden. Angenommen, dieser Verlauf setzt sich bis zum Stückpreis y = 0 fort: Welcher Zusammenhang besteht dann zwischen dem Stückpreis y und der Anzahl x der bis dahin verkauften Stücke? Wie viele Stücke könnte Jens höchstens verkaufen? Tragen Sie den Graph der Funktion y(x) in ein Koordinatensystem ein ( x- Achse: 10 Käufer = 1cm; y-Achse: 2€ = 1cm).
( Lösung zur Weiterrechnung in den folgenden Teilen: y/20 + x/80 = 1).
b) Jens will nach den ersten paar Preissenkungen einen gleichbleibenden Preis festsetzen. Er nimmt an, dass die in Teilaufgabe a) gefundene Beziehung zwischen Stückpreis y und Anzahl der verkauften Stücke x für alle x, y gilt. Welchen Festpreis muss er wählen, damit das Produkt y•x, das ist sein Umsatz, maximal wird? Lösen Sie die Aufgabe auch im allgemeinen Fall y(0)=b und y(a) = 0 .
c) Angenommen, Jens wäre dabei geblieben, den Preis allmählich abzusenken. Tragen Sie in die Skizze die Fläche ein, welche den Umsatz repräsentiert. Der Einfachheit halber wählen wir zur Zeichnung große Preissprünge: Δy = 4€. Welche obere Grenze hätte der Umsatz im gegebenen Fall und im allgemeinen Fall y(0)=b und y(a) = 0 ? Vergleichen Sie mit Teilaufgabe b) !