In einer Landesrunde 2013/14 der Mathematikolympiade war folgende Aufgabe gestellt worden. Ein Drahtstück der Länge L werde in zwei Teile geschnitten. Ein Teilstück werde zu einem Kreis, das andere zu einem Quadrat geformt. Zu zeigen war, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Figuren dann am kleinsten ist, wenn der Durchmesser des Kreises gleich der Kantenlänge des Quadrates ist. Diese schöne Aufgabe reizt dazu, sie zu erweitern, indem man den Inkreis einer Figur ins Spiel bringt.
Wir befassen uns mit gleichseitigen n – Ecken, von denen das Quadrat (n=4) ein Beispiel ist.
Der Inkreis einer solchen Figur ist der Kreis, welcher die Seiten des n-Ecks als Tangenten hat.
Wählt man die Zahl n immer größer, so nähert sich das n-Eck immer mehr seinem Inkreis an.
Ein Drahtstück der Länge L wird in zwei Teile geschnitten.
a) Beide Teilstücke werden zu einem Kreis geformt. Wie müssen die Teilstücke gewählt werden, damit die Summe der Flächeninhalte beider Kreise möglichst klein wird?
b) Ein Teilstück wird zu einem Kreis mit dem Radius r geformt, das andere zu einem gleichseitigen n-Eck . Zeigen Sie: Die Summe der Flächeninhalte von Kreis und n-Eck sind minimal, wenn der Radius r des Kreises gleich dem Radius R des Inkreises des gleichseitigen n-Ecks ist .