a) Solange die Haftreibungskraft beide Massen zusammenhält, erfahren beide Massen dieselbe Beschleunigung a = F/(m₁ + m₂) . Das wäre bei F = 20N eine Beschleunigung von 2,5m/sec² . Sind dann beide Massen noch zusammen?

Betrachten wir die Situation von der oberen Masse aus. Sie erfährt in horizontaler Richtung nur die Haftreibungskraft, und deren Maximalwert ist 0,8•2•10N = 16 N. Die zu einer Beschleunigung von 2,5m/sec² erforderliche Kraft auf m₁ ist aber nur gleich 5N, also beginnt die Masse noch nicht zu gleiten.

b) Bei kleinen Beschleunigungen – s. Teil a) – haften beide Körper noch zusammen. Der obere Körper beginnt zu gleiten, wenn der Wert dieser – gemeinsamen – Beschleunigung größer als μ_H•g wird . Das bedeutet

F < ( m₁ + m₂) •μ_H•g = 64N

c) Die Kraft auf den unteren Quader ist: F – m₁• μ_G•g = 80N – 4N = 76 N

Es folgt für die gesuchte Beschleunigung des unteren Quaders: m₂•a₂ = 76N, und damit a₂ = 76N/6kg = 12,66m/sec².

So weit zur Lösung der Aufgabe. Ich komme zum Fehler, den einige Schüler gemacht haben und der uns die Chance bot, aus ihm einiges zu lernen. Dazu füge ich einen leicht veränderten Abschnitt aus der Berichtigung bei, die von mir routinemäßig nach Rückgabe der Arbeit an alle Schüler verschickt worden ist .

Einen recht lehrreichen Fehler haben einige von Ihnen gemacht. Sie rechnen in c) :

(m₁+ m₂)•a =80N, und damit a =80N/8kg = 10m/sec².

Sie könnten wie folgt argumentieren: Die Gleitreibungskraft ist eine Kraft, die sich zwischen Teilen des insgesamt beschleunigten Körpers abspielt. Sie ist keineäußere Kraft. Und das 2.Newtonsche Axiom sagt : Die Summe der äußeren Kräfte ist gleich der Gesamtmasse des Körpers mal der Beschleunigung. Und die einzige äußere Kraft ist gleich 80 N. Also a = 80N/8kg = 10 m/sec² .

Aber sehen wir genauer hin! Welche Beschleunigung ist im Newtonschen Axiom gemeint? Was ist gemeint, wenn die einzelnen Bestandteile des Körpers sich unterschiedlich bewegen?

Ich denke, dass ich Ihnen das gelegentlich einmal gesagt habe: Gemeint ist die Beschleunigung des Massenmittelpunktes. Bei einem festen Körper muss man darüber nicht nachdenken; bei ihm bewegen sich alle Massenpunkte in gleicher Weise. Wie aber ist es hier?

10m/sec² ist der Wert der Beschleunigung des Massenmittelpunktes der beiden Quader. Und dieser wird nicht so beschleunigt wie der untere Quader. Vielmehr ist die Beschleunigung des Massenmittelpunktes geringer als die des unteren Quaders, weil der obere Quader zurückbleibt.

Ihre Rechnung hätte wie folgt fortgeführt werden können.

Die Kraft F ist einerseits gleich dem Produkt (m₁+ m₂)a_S , wobei a_S die Beschleunigung des Schwerpunktes bedeutet, andererseits gleich der Summe der auf m₁ und auf m₂ wirkenden Kräfte m₁a₁ + m₂a₂. Auf m₁ wirkt in waagerechter Richtung nur die Gleitreibungskraft:

m₁a₁ = μ_Gm₁g = 4 kgm/sec², und so folgt

(1) m₂a₂ = (m₁+m₂)a_S - μ_Gm₁g = 8kg•10m/sec² – 4 kgm/sec² = 76kgm/sec²

Damit ist a₂ = 76/6 m/sec² = 12,66 m/sec²

Die Rechnung hätte auch in folgender Weise fortgeführt werden können.

Bezeichnen wir mit x_S die waagerechte Komponente des Ortsvektors des Massenmittelpunktes und mit x₁, x₂ die Koordinaten der Massenmittelpunkte der beiden Quader, so ergibt sich x_S als deren gewichtetes Mittel:

(2) x_S = ( m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂).

Gesucht ist die Beschleunigung a₂; das ist die zweite zeitliche Ableitung von x₂ . Zweimaliges Ableiten von (2) ergibt

(3) a_S = ( m₁a₁ + m₂a₂)/(m₁ + m₂)

(3) ist bis auf geringfügige Umformung und nach Einsetzung von m₁a₁ = μ_Gm₁g identisch mit Gleichung (1)