a) Es gibt die folgenden Möglichkeiten, die Zahl 100 als Produkt zweier natürlicher Zahlen zu schreiben

1•100, 2•50, 5•20, 4•25, 10•10

Im zweiten und im letzten Fall ist die Gleichung nicht lösbar; die anderen Lösungen sind ( in der Form(x|y) angegeben) : (50|49), (12|7), (14|10). So erhält man z.B. im Fall 5•20 die Lösung wie folgt: x – y = 5 und x + y + 1 = 20 bzw. x + y = 19 : 2x = 24 und damit x=12, y=7.

b) Die Summe der beiden Faktoren (x-y) und (x+y+1) ist die ungerade Zahl 2x + 1. Deshalb muss einer der beiden Summanden gerade, der andere ungerade sein.

Eine – von 1 verschiedene - natürliche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn in ihrer Primzahlzerlegung jeder Primfaktor eine gerade Hochzahl hat. Sind (x-y) und (x+y+1) teilerfremd, so haben sie keinen Primfaktor gemeinsam, und deshalb muss in ihrer jeweiligen Primzahlzerlegung jede Primzahl mit einer geraden Hochzahl vorkommen; beide sind demnach Quadratzahlen. Im Beispiel a) ist das der Fall bei 100 = 4•25

c) Die Gleichung ( x-y )•(x + y + 1) = 15² = 225 hat keine Lösung, da 225 sich nicht als Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl darstellen lässt.

Die Gleichung (1) hat keine Lösung, wenn n eine ungerade Zahl ist. Sie hat genau eine Lösung, wenn n eine Zweierpotenz ist ( und zwar die Lösung, die sich aus x –y =1 und x+y+1= 2^2m ergibt:
x = 2^{2m – 1} , y = 2^2m-1 – 1 ); in den anderen Fällen hat sie mehr als eine Lösung.