Wir zeigen, dass der Tarif D König Roberts Bedingungen erfüllt.
1) D(A,A) = min(d(A,A); 1) = min ( 0; 1) = 0
2) D(A,B) = min(d(A,B);1) = min(d(B,A);1) = D(B,A)
3) D(A,C) = min( d(A,C);1) ≤ min(d(A,B)+d(B,C);1) ≤ min(d(A,B);1)+min(d(B,C);1) =
= D(A,B) + D(B,C)
Wir müssen die beiden in 3) stehenden Ungleichungen beweisen.
Seien x ≥ 0, y≥ 0
Zur ersten der beiden Ungleichungen. Zu zeigen ist: min(x;1) ≤ min(y;1) , wenn y≥x
Im Fall x≥1 ist min(x;1) = 1; wegen y≥x ist y≥1 und min(y;1) = 1.
Im Fall x <1 ist min(x;1) =x. Nun ist min(y;1) =1 >x =min(x;1) oder min(y;1) = y ≥x =min(x;1).
Zur zweiten der beiden Ungleichungen. Wir zeigen: min(x+y;1) ≤ min(x;1) + min(y;1)
Im Fall x+ y ≤1 ist min(x+y;1) = x + y = min(x;1) + min(y;1)
Im Fall x+y >1 ist min(x+y;1) = 1
Falls dann x,y beide kleiner als 1 sind gilt: min(x+y;1)=1 < x+ y = min(x;1) + min(y;1)
Falls dann wenigstens eine der beiden Zahlen x, y ( z.B. x) größer als 1 ist, gilt:
min(x+y;1) =1 ≤ 1 + min(y ;1) = min(x ;1) + min(y ;1)