Meine Quelle zu den historischen Angaben: Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik, Oldenbourg-Verlag 2002

Das Verfahren besteht darin, einen der Faktoren, zweckmäßigerweise den kleineren, als Summe von Zweierpotenzen zu schreiben. Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als eine Summe von Zweierpotenzen schreiben ( Zweiersystem oder Dualsystem).

So ist 13 = 8 + 4 + 1 = 2³ + 2² + 2⁰

Im vorliegenden Beispiel erhält man – jetzt in moderner Schreibweise - 13•212 = (8+4+1)•212 = 8•212+4•212+212=1696+848+212

Hätten die Ägypter ein Symbol für die Nicht-Aufnahme einer Zweierpotenz in die Summe eingeführt, so hätten sie eigentlich das Dualsystem nicht mehr übersehen können.

So ist im vorliegenden Beispiel 13 = 1•2³ + 1•2² + 0•2¹ + 1•2⁰ , oder abgekürzt
im Dualsystem: 13 = II0I₂

Ein Symbol, das man als ein Zeichen für die Null auffassen könnte, taucht erst um das Jahr 200 v.Chr., d.h. während der hellenistischen Zeit in Ägypten auf . Das oströmische Reich von Byzanz und die islamischen Reiche unter den Arabern waren Erben der Kultur des Hellenismus; ob die Null im Osten des hellenistischen Kulturraumes, in Indien, entstanden ist und zusammen mit unseren anderen Ziffern über die Araber den Weg nach Europa gefunden hat oder ob sie griechische Vorläufer hatte, ist meiner o.g. Quelle nach bis heute nicht geklärt.

Gesucht ist nun der Quotient aus 7923 und 19, d.h. die Lösung der Gleichung

x•19 = 7923.

Wir legen die dreispaltige „ägyptische“ Tabelle an; in der ersten Spalte stehen die Zweierpotenzen, in der zweiten Spalte die Produkte aus diesen Potenzen und 19, die dritte enthält die Entscheidungen darüber, ob die Zahl aus der zweiten Spalte in die Addition zum Erreichen von 7923 aufgenommen wird oder nicht. Wir machen es im Fall des „nicht aufgenommen“ wie die Ägypter, indem wir die Entscheidungsspalte leer lassen, und so wie die Ägypter den Fehler begehen, Null für nichts zu halten. Man beginnt in der Tabelle von unten und arbeitet sich nach oben vor.

Hier sind wir eine Zeile weit über das Ziel hinausgeschossen; 9728>7923

Das erste Sternchen bekommt die Zahl 4864. Da 4864+2432= 7296, bekommt auch die Zahl 2432 ein Sternchen. Aber 7296+1216>7923. Weiter: 7296+608=7904: Sternchen an 608. Jetzt fehlen zu 7923 nur noch 19: Nächstes und letztes Sternchen erst bei 19.

Der gesuchte Quotient ist x = 256+128+32+1=417

Im Zweiersystem: x = 1•2⁸ + 1•2⁷ + 0•2⁶ + 1•2⁵ + 0•2⁴ + 0•2³ + 0•2² + 0•2¹ + 1•2⁰

= I I 0 I 0 0 0 0 I ₂

Gesucht ist die Lösung der Gleichung x•8 = 19 . Wir legen wieder die dreispaltige Tabelle an, wobei jetzt noch die Brüche 1/8, ¼ und ½ hinzukommen. In der zweiten Spalte stehen die Ergebnisse der Multiplikation der Zahlen aus der ersten Spalte mit der Zahl 8.

In der dritten Spalte steht wieder ein Sternchen, wenn die Zahl in der zweiten Spalte in die Addition mit dem Ziel 19 eingeht.

19 = 8• ( 2 + ¼ + 1/8) = 8•( 1•2¹+ 0•2⁰ + 0•2 ^{– 1} + 1•2 ^{– 2} + 1•2 ^{- 3} ); die gesuchte Zahl ist
2,375 = I 0, 0 I I₂

Gesucht ist die Lösung der Gleichung x•28 = 189

Es folgt x = 6,75 = I I 0 , I I ₂

Wenn nur ausgewählte Bruchzahlen bekannt sind und wenn die Quotienten damit nicht darstellbar sind, muss man Reste lassen. Dazu das folgende Beispiel aus dem Papyrus Rhind

Gesucht ist x = 753:26 oder x•26 = 753

Es gilt 416 + 208 + 104 = 728. Addieren von 52 oder von 26 würde über 753 hinausführen; die Division von 26 durch 2 würde noch aufgehen, der verbleibende Rest von 13 ergäbe bei Division durch 4 oder 8 keine ganze Zahl. So wird die Aufgabe bei 728 abgebrochen, und das Ergebnis lautet x = (16+8+4) Rest 25 = 28Rest25