a) Seien x, y natürliche Zahlen und sei 10n eine Zehnerpotenz mit natürlicher Hochzahl n.

Man bildet die Reste rx = 10n – x und ry = 10n – y ( Das sind die in den Beispielen kursiv geschriebenen Zahlen)

Es gilt dann: x•y = 10n•( 10n – (rx + ry)) + rx•ry

In Worten: Subtrahiere von der Zehnerpotenz die Summe der beiden Reste und multipliziere diese Differenz mit der Zehnerpotenz. Addiere zum Ergebnis das Produkt der Reste.

In den Fällen (1) bis (4) ist das Produkt der Reste ein- oder zweistellig. In diesen Fällen hat die Regel die folgende einfache Form: Multipliziere die beiden Reste und bilde daraus die letzten beiden Stellen des Produkts ( u.U. mit einer führenden Null , wie im Beispiel (1)). Subtrahiere von 100 die Summe der Reste und setze diese Zahl an die ersten beiden Stellen des Produktes.

Im Beispiel (8) ist das Produkt aus den Resten dreistellig. Dann muss man die allgemein formulierte Regel anwenden.

In den Beispielen (9) und (10) wird die Regel auf drei-bzw. vierstellige Zahlen angewandt.

Da die Beispiele so gewählt sind, dass die Produkte der Reste drei-bzw. vierstellig sind, lässt sich die Regel wieder auf die einfache Form bringen: Bilde die letzten drei (bzw. vier) Stellen aus dem Produkt der Reste; die drei bzw. vier führenden Ziffern erhält man, indem man die Summe der Reste von 1000 bzw. 10 000 subtrahiert.

Die Regel reduziert sich auf die einfache Form in den Fällen, in denen die Reste nicht zu groß sind ( etwa ein Zehntel der jeweiligen Zehnerpotenz). Dann kann man bequem im Kopf multiplizieren.

b) Wir formen den Term auf der rechten Seite der Regel um.

10n•( 10n – (rx + ry)) + rx•ry = 102n – 10n•(rx + ry) + rx•ry = 102n – 10n•rx – 10n•ry + rx•ry =

102n – 10n•( 10n – x) – 10n•(10n – y) + (10n– x) • (10n – y) =

102n - 102n + 10n•x - 102n + 10n•y + 102n - 10n•y – 10n•x + x•y = x•y

Damit ist die Regel bewiesen.

Die Reste können auch negative Zahlen sein.

Die Regel funktioniert sogar dann, wenn man - geradezu kolossal unzweckmäßig - als Zehnerpotenz, auf die man sich bezieht, nicht die nächstliegende, sondern eine entfernt liegende nimmt. Rechnen wir das Beispiel (6) nochmals durch, wobei wir jetzt nicht die Zehnerpotenz 100, sondern die Zehnerpotenz 1000 als die nehmen, auf die wir uns bei der Restebildung beziehen.

94 | 906

•105 | 895

__________

1000•( 1000 – 1801) + 906•895 = 1000 000 – 1 801 000 + 810870 = 9870