(I) x + y + z = 100
(II) 50x + 10y + z = 500
(II) – (I) ergibt 49x + 9y = 400 (III) oder y = ( 400 – 49x)/ 9 ( IV )
Zusätzliche Bedingung : x, y, z sind natürliche Zahlen.
Aus (III) folgt, dass x nicht größer als 8 sein kann. Entsprechend ( IV ) sind nun Zahlen x zwischen 1 und 8 gesucht, so dass 400 – 49x durch 9 teilbar ist.
Probieren mit x = 1 liefert eine Lösung (da 400 – 49 = 351 durch 9 teilbar ist), und weiter y=39 und z = 60.
Ist das schon die einzige Lösung? Probiert man in (IV) der Reihe nach die Einsetzungen für x von x= 2 bis x = 8 durch, so stellt man fest, dass die gefundene Lösung in der Tat die einzige ist. Aber man kann etwas schneller zum Ziel kommen.
Gesucht sind natürliche Zahlen x, k mit 400 – 49x = 9k oder 400 – 40x – 9x = 9k oder
40(10 – x ) = 9(k + x) mit 1 ≤ x ≤ 8 . Es folgt, dass 10 – x durch 9 teilbar sein muss, was nur für x = 1 möglich ist.