a) Wir bezeichnen mit x das Goldvolumen gemessen in cm3, mit y das Silbervolumen gemessen in cm3.
Dann gilt: x + y = 55 und 20x + 10y = 900. Einsetzen von y = 55 – x in die zweite Gleichung ergibt: 20x + 10•(55 – x) = 900 und damit 10x = 350 oder x = 35.
Die Krone enthält 35 cm3 ( oder 700 Gramm) Gold und 20 cm3 (oder 200 Gramm) Silber.
b) 20x + 10y ≤ 700 bzw . y ≤ -2x + 70 ( I )und x + y ≤ 50 bzw. y ≤ - x + 50 ( II )
Die beiden Geraden g : y = -2x +70 und h: y = - x + 50 schneiden sich im Punkt P (20|30).
Der Gewinn G errechnet sich wie folgt: 20x•15 + 10y•20 = G oder y = - 1,5•x + G/200
Diese „Gewinngerade“ v verläuft flacher als g, aber steiler als h. Die von den Koordinatenachsen und den Abschnitten der Geraden g und h im ersten Quadranten eingeschlossenen Punkte sowie die auf diesen begrenzenden Strecken selbst liegenden Punkte sind genau die, welche die Bedingung (I) und zugleich die Bedingung (II) erfüllen.
G/200 und damit G ist am größten, wenn die Gewinngerade v durch den Punkt (20|30) verläuft. Der Gewinn ist in diesem Fall gleich 20•20•15 + 10•30•20 = 12000 .
Der maximal erzielbare Gewinn beträgt 12000 Währungseinheiten (G/200 = 60).
