a) Michel kauft 40 cm Golddraht. Das daraus gebogene Quadrat hat den Inhalt 100cm².

b) (x/4)² + (y/4)² = S(x,y) → x² + y² = 16•S(x,y) = : s(x,y)

Die Bedingung 5x + 10y = 400 ergibt x = -2y + 80 und damit:

s(y) = ( - 2y + 80)² + y² . Ableiten nach y und Nullsetzen der ersten Ableitung :

s’(y) = -4•( - 2y + 80) + 2y = 0 → 10y = 320 und y = 32 . s’’ = 10 > 0. x = -64 +80 = 16

s und damit S wird minimal, wenn der Golddraht 32cm lang und der Silberdraht 16 cm lang ist. S hat dann den Wert (8² + 4²)cm² = 80cm²

c) Die Bedingung 5x + 10y = 400 ist äquivalent zu x/80 + y/40 = 1 : Die Punkte (x|y) liegen auf einer Geraden g , welche den x-Achsenabschnitt 80 und den y-Achsenabschnitt 40 hat.

Die Punkte, für die gilt (x/4)² + (y/4)² = S oder x² + y² = 16S liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius 4S^0,5 . Im angegebenen Beispiel hat dieser Kreis den Radius 20 und hat keinen Punkt mit der Geraden g gemeinsam ( S ist noch zu klein). Bei wachsendem S tangiert schließlich g den Kreis; bei weiter wachsendem S gäbe es erst zwei, dann wieder einen, schließlich gar keinen Schnittpunkt mehr. Die Koordinaten des Berührpunktes sind (16|32). (Man kann natürlich nicht genau ablesen). Ergebnis: Das Drahtstück aus Silber muss 16cm, das aus Gold 32 cm lang sein; dann hat S seinen minimalen Wert, und zwar S = (4² + 8²)cm² = 80 cm²

Größeres S – größerer Radius – führen zunächst zu zwei Schnittpunkten ( zwei möglichen Lösungen) mit der Geraden; bei x= 80cm – es wird nur Silberdraht verwendet – erreicht man schließlich die problemgegebene Grenze für S; aus 80 cm Silberdraht ließe sich ein Quadrat mit dem Inhalt 400cm² biegen.

d) Wie in Teil c) geht man aus von der Gleichung x² + y² = 16S und setzt x = 80 – 2y ein:

( -2y + 80 )² + y² = 16S

Ausrechnen des Quadrates, Lösen der quadratischen Gleichung:

y = 32 + ( 16S/5 – 256)^0,5 oder y = 32 – (16S/5 – 256)^0,5 (*)

Bei zu kleinem S ist die Diskriminante negativ; bei S = 5•256/16 = 80 erreicht sie den Wert Null; das ergibt den kleinsten Wert, den S haben kann: S = 80cm².

Die zugehörigen Drahtlängen sind y = 32cm und x = 16 cm.

Eine Rückblende zum Teil a) . Michel hatte für sein ganzes Geld Golddraht gekauft ( 40cm) und daraus ein Quadrat des Inhalts 100cm² geformt. Das stimmt mit der ersten Lösung in (*) überein. Allerdings liefert (*) zu S = 100cm² noch eine zweite Lösung: y = 24 und

x = 80-48 = 32. Michel hätte also auch 24 cm Golddraht und 32 cm Silberdraht kaufen können, und die beiden daraus geformten Quadrate hätten zusammen ebenfalls einen Inhalt von 100cm² gehabt. Hätte die Aufgabe aber gefordert, ein Maximum statt eines Minimums an Quadratinhalten zu liefern, so wäre die Michelsche Lösung, das gesamte Geld in einen Draht – jetzt den Silberdraht – zu stecken und daraus ein Quadrat zu formen, richtig gewesen.

Sollte der Sohn des Albrecht schon ein wenig mit komplexen Zahlen vertraut gewesen sein, so hätte er die beiden Äste seiner Lösung (*) wie folgt darstellen können. Start ist mit S=0 bei y = 32 + i•16 und bei y = 32 - i•16. Die Pfeile weisen in Richtung eines wachsenden S.

Mit S = 80 wird y erstmals rein reell; von da ab verzweigen die Lösungen zu den von der Situation gegebenen Grenzen y = 0 ( nur Silberdraht) und y = 40 ( nur Golddraht).