a) x kann keine gerade Zahl sein, da in diesem Fall die Endziffer der Potenz xⁿ eine gerade Zahl wäre. Die Potenzen 5ⁿ enden alle auf 5, die Potenzen 9ⁿ abwechselnd auf 9 und 1.

Die Endziffern der Potenzen 3ⁿ durchlaufen den Zyklus 3, 9,7,1,3,..., und die Endziffern der Potenzen 7ⁿ durchlaufen den Zyklus 7, 9,3,1,7,... . Es kommen damit als Lösungen in Frage die Potenzen 3^{3 + 4k} und 7^{1 + 4k} ( k = 1, 2, 3 ,....) . Die Potenz xⁿ ist achtstellig, was zu den Ungleichungen führt: 10⁸> 3ⁿ = 10^n•log3 ≥ 10⁷ und 10⁸ > 7ⁿ = 10^n•log7 ≥ 10⁷ .

Aus 8 > n•log3 = n•0,4771 ≥ 7 folgt 16,77 > n ≥ 14,67 . Die beiden natürlichen Zahlen 15 und 16 erfüllen diese Ungleichung. Da n von der Form 3 + 4k sein muss, kommt als Lösung nur n = 15 in Frage.

Die Potenz 3¹⁵ ist eine Lösung.

Aus 8 > n•log7 = n•0,8451 ≥ 7 folgt 9,37 > n ≥ 8,28. Lösung der Ungleichung ist n = 9. Da n auch von der Form 1 + 4k ist, ist die Potenz 7⁹ achtstellig und hat die Endziffer 7.

Die Potenzen 3¹⁵ und 7⁹ sind die Lösungen des Aufgabenteils a) .

b) Während man Teil a) noch durch Probieren mit dem Taschenrechner hätte lösen können, kann Teil b) nicht mehr so gelöst werden; die Zahlen sind zu groß.

3³²⁸ = 10^328•log3 und 7²⁴³ = 10^243•log7 . Da 328•log3 < 243•log 7 ( 328•log 3 ≈ 156; 243•log7 ≈205) folgt 3³²⁸ < 7²⁴³ oder 7²⁴³ - 3³²⁸ > 0 : Das Vorzeichen der Zahl ist positiv.

In Teil a) ist zu finden, dass 3³²⁸ auf 1 endet und 7²⁴³ auf 3 . Die Zahl 7²⁴³ - 3³²⁸ endet auf 2.