a) 1,3•0,8 = 1,04. Das Kapital ist um 4 Prozent gewachsen.
b) 1,3•0,8 = (1 + p/100 )2 → 1 + p/100 = ( 1,3•0,8)0,5 → p = ( (1,3•0,8)0,5 – 1) • 100 = 1,98
Der gesuchte gleichbleibende Prozentsatz ist gleich 1,98 %
c) ( 1 + q/100)•(1 + r/100) = (1 + p/100)2 → p = ( ( (1+q/100)•(1+r/100) )0,5 – 1) • 100
Der mittlere Wachstumsfaktor ist gleich dem geometrischen Mittel aus den beiden einzelnen Wachstumsfaktoren. Die mittlere prozentuale Wachstumsrate erhält man, indem man davon 1 abzieht und die Differenz mit 100 multipliziert.
Im vorliegenden Beispiel ist q = 30 und r = - 20.
d) Sei z der mittlere Wachstumsfaktor. Es gilt : x•y = z2 oder z = (x•y)0,5; z ist wie schon in dem vorangegangenen Aufgabenteil erwähnt das geometrische Mittel aus x und y . Dieses ist nur im Fall x = y gleich dem arithmetischen Mittel (x +y)/2 und im übrigen kleiner, wovon man sich wie folgt überzeugen kann. ( Zu beachten: x, y, z sind positive Zahlen).
(x+y)/2 ≥ (xy)0,5 ↔ (x+y)2 ≥ 4xy ↔ x2+2xy+y2 ≥ 4xy ↔x2-2xy+y2≥0 ↔ (x-y)2≥0
Im Fall unserer Aufgabe ist x = 1, 3 und y = 0,8 und z = (1,3•0,8)0,5 = 1,0198 . Das arithmetische Mittel ist (1,3 + 0,8)/2 = 1,05 .
e) x1•x2• • • xn = zn , also z = (x1•x2• • • xn)1/n Der mittlere Wachstumsfaktor ist gleich der n-ten Wurzel aus dem Produkt der n Wachstumsfaktoren; das ist das geometrische Mittel dieser n Zahlen.