Auf einem Teich bildet sich eine Eisschicht.
Wir legen hier das gebräuchliche Modell zugrunde, wonach die Dicke der Eisschicht nur von der Differenz ΔT der Temperaturen zwischen dem Wasser direkt unter dem Eis und der Luft über dem Eis sowie von der Zeit t abhängt, die seit Beginn der Eisbildung verflossen ist. Während der Eisbildung soll ΔT unverändert bleiben. Nach dem Modell ist die Dicke der Eisschicht proportional zur Quadratwurzel aus der Zeit t und proportional zur Quadratwurzel aus der Temperaturdifferenz ΔT.
Die Lufttemperatur betrage nun –15°C, das Wasser direkt unter der sich bildenden Eisschicht habe die Temperatur 0°C. In diesem Fall ist ΔT = 15°C ( = 15K), und dann hängt die Dicke x der Eisschicht nur noch von t ab und zwar in folgender Weise:
x(t) = 1,47•t0,5 ( t gemessen in Stunden, x in cm ) .
a) Nach welcher Zeit ist die Eisschicht 5 cm dick?
b) Stellen Sie in einer Tabelle die Werte zusammen, welche die Dicke der Eisschicht und die Rate der Eisbildung (Dickenwachstum in cm/h) annehmen für t = 1/4h, 1 h, 9h, 100 h.
c) Seit Beginn der Eisbildung seien n Stunden vergangen. Wie lange wird es von nun an dauern, bis die Dicke der Eisschicht sich verdoppelt haben wird?
d) Wie lange würde es dauern, bis das Eis 5 cm dick wäre, wenn die Luft die Temperatur –3°C und das Wasser die Temperatur 0°C hätte?
e) Betrachten Sie sich die Formel für die Eisbildungsrate ( Aufgabenteil b)). Wie ist die Lage im Fall t = 0 bzw. x = 0 ?