a) 6! = 1•2•3•4•5•6 = 2²•3 • 5 . Es gibt die drei folgenden Möglichkeiten, diese Zahl als Produkt in der verlangten Art zu schreiben: 2²•( 3•5); 3•(2² • 5) ; 5•(3•2²)

Damit ist der Weg zur Lösung der folgenden Aufgabenteile vorgezeichnet: Teilerfremd sind zwei Zahlen genau dann, wenn sie keinen gemeinsamen Primfaktor enthalten.

b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl 15! enthält Potenzen der ersten sechs Primzahlen 2,3,5,7,11,13 . Teilerfremd sind a und b genau dann, wenn sie keinen gemeinsamen Primfaktor enthalten. Die Zerlegung der Zahl b enthält dann genau diejenigen der sechs Primzahlen, welche die Zerlegung von a nicht enthält. Mit anderen Worten: Die in a enthaltenen Primfaktoren sind eine Teilmenge der sechs genannten Primzahlen; b enthält die Komplementärmenge.

Es gibt 2⁶ Teilmengen der 6 Primzahlen.

Wie viele Paare der Art ( Teilmenge | Komplementärmenge) lassen sich daraus bilden? Würden wir die Reihenfolge beachten, also geordnete Paare bilden, so kämen wir auf eine Anzahl von 2⁶ ; sehen wir die Zahlenpaare (x|y) und (y|x) als gleich an, so halbiert sich die Anzahl auf 2⁵. Davon abzuziehen ist noch der Fall der leeren Teilmenge ( in diesem Fall wäre einer der Faktoren gleich 1). Wir kommen auf eine Anzahl von 2⁵ – 1 = 31.

Es gibt einundreißig Zahlenpaare a, b mit 15! = a•b = b•a

c) Statt der Zahl 6 ist der Term p(n) zu verwenden. Es gibt 2^{p(n) – 1} – 1 Zahlenpaare der gesuchten Art.