1. xS = (1,6 + 0 + (-0,8))/3 = 0,27 , yS = ( 1,8 + 2,1 + (-2))/3 = 0,63
Der Punkt (xS|yS) ist der Schwerpunkt des Dreiecks, das aus den drei gegebenen Punkten als Eckpunkten gebildet wird. Dort schneiden sich die Seitenhalbierenden ( Schwerlinien) des Dreiecks.
Der Inhalt lässt sich auf verschiedenen Wegen bestimmen. Der einfachste scheint mir zu sein, das Vektorprodukt der beiden Vektoren ( 1,6 – 0| 1,8 – 2,1|0 ) = ( 1,6|-0,3|0) und
( -0,8-0|-2-2,1|0) = ( -0,8| -4,1|0) zu bilden. Dieser hat nur eine Komponente – in z- Richtung senkrecht zur Ebene, in der die drei Punkte liegen - , deren Betrag ist auch schon der Betrag des Vektorproduktes, und die Hälfte davon ist gleich dem gesuchten Flächeninhalt.
Es gilt ( 1,6 | - 0,3 | 0) x ( -0,8 | - 4,1 | 0 ) = ( 0 | 0 | 1,6•(-4,1) – (- 0,3)•(-0,8)) = (0|0| - 6,8 ).
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist gleich 6,8/2 = 3,4 .
2. xS = 0,2•3 + 0,4•2 + 0,3•(-4) + 0,1•(-2) = 0
yS = 0,2•(-2) + 0,4•5 + 0,3•4 + 0,1•(-3) = 2,5
Der Punkt ( 0 | 2,5 ) ist der Massenmittelpunkt der Anordnung.
Var(x) = 0,2•(3 – 0)2 + 0,4•(2 – 0)2 + 0,3•(-4 - 0)2 + 0,1•(-2- 0)2 = 8,6
Die Quadratwurzel daraus ist die Streuung der Größe x; sie hat den Wert 2,93
Var(y) = 0,2•(-2-2,5)2 + 0,4•(5- 2,5)2 + 0,3•(4- 2,5)2 + 0,1•(-3 –2,5)2 = 10,25
Die Quadratwurzel daraus ist die Streuung der Größe y; sie hat den Wert 3,2
Übrigens ist Var(x) + Var(y) gleich dem Trägheitsmoment bezüglich der Achse, die in z-Richtung durch den Massenmittelpunkt verläuft, wenn auf den vier Punkten eine Masse der Größe 1 Masseneinheit so wie in der Aufgabe angegeben verteilt wird.
Denn:
Var(x) + Var(y) = 0,2•((3–0)2 + (-2-2,5)2 )+ 0,4•((2–0)2 + (5- 2,5)2) +
+ 0,3•((-4-0)2+(4-2,5)2 )+ 0,1•((-2-0)2+(-3 –2,5)2) =
= 0,2•rA2 + 0,4•rB2 + 0,3•rC2 + 0,1•rD2 ,wobei rA, rB, rC, rD die Abstände der Punkte A, B,C,D
vom Massenmittelpunkt bezeichnen.