a) Sehen wir uns die Endziffern der Zweierpotenzen an: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8 , 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024,...

Die Endziffern durchlaufen periodisch die Zahlen 2, 4, 8, 6 . Insbesondere haben alle Zweierpotenzen, deren Hochzahl ein Vielfaches von 4 ist, die Endziffer 6. So hat auch 2⁴⁰ die Endziffer 6. Demnach hat 2⁴⁰ – 1 die Endziffer 5 und ist deshalb durch 5 teilbar.

Um weitere Primfaktoren der Zahl 2⁴⁰ – 1 zu finden, faktorisiert man unter Verwendung der dritten Binomischen Formel:

2⁴⁰ – 1 = (2²⁰ – 1)(2²⁰ + 1) = (2¹⁰ –1)(2¹⁰ + 1)(2²⁰ + 1)

( Der zweite Faktor ist übrigens gleich 1025 und damit durch 5 teilbar; so hätte man die erste Behauptung auch beweisen können).

Wir zerlegen den Faktor 2¹⁰ – 1 weiter: 2¹⁰ – 1 = (2⁵ – 1)(2⁵ + 1) = 31•33 = 31•3•11 , womit man weitere Primfaktoren 3, 11, 31 gefunden hat.

b) Die Endziffern der Dreierpotenzen durchlaufen periodisch die Zahlen 3, 9, 7, 1 .

So hat 3⁴²¹ = 3^{4•105 + 1} die Endziffer 3. Somit hat 3⁴²¹ + 2 die Endziffer 5 und ist damit durch 5 teilbar.