a) Die Monatsrate von A beträgt z/18, die von B beträgt z/24, die von C beträgt z/72

Addiert man die drei Raten, so erhält man als gesamte monatliche Rate 4z/72 + 3z/72 + z/72 = 8z/72 = z/9 .

Es dauert 9 Monate, bis die z € auf Jonathans Konto sind.

b) Am Ende des ersten Jahres hat das Kapital den Wert z•1,05•0,85, am Ende des zweiten Jahres den Wert z•1,05²•0,85², am Ende des dritten Jahres den Wert z•1,05³•0,85³, am Ende des sechsten Jahres den Wert z•1,05⁶•0,85³•0,9³ ≈ z•0,6. Am Ende des sechsten Jahres sind noch 60% des anfänglichen Kapitals vorhanden.

c) x⁶ = 0,6. Es folgt x = 0,918 . Der durchschnittliche jährliche Verlust beträgt 8,2%.

d) 1,03^x•0,6 = 1 → 1,03^x = 1/0,6 ≈ 1,67 → x = log(1,67)/log(1,03) ≈ 17,35 .

Jonathan müsste 18 Jahre warten, bis sein Verlust wieder ausgeglichen wäre.

Hinweis zu Aufgabenteil a)

Würde A, B, C jeweils alleine zahlen, so wären die individuellen Laufzeiten der Ratenzahlungen 18, 24, 72 Monate. Wenn sie zusammen zahlen, beträgt die Laufzeit 9 Monate. Würden während dieser 9 Monate alle gleich viel zahlen, so müsste jeder die Monatsrate z/27 aufbringen. 27 Monate könnte man deshalb als mittlere individuelle Laufzeit bezeichnen. Diese ist das harmonische Mittel der drei Laufzeiten, denn : 1/18 + 1/24+ 1/72 = 1/9 = 3/27