Zum Gesetz von Hagen – Poiseuille

Bei viskoser Strömung durch eine Röhre mit dem Innendurchmesser d = 2r und der Länge l ist der Volumenstrom V‘ proportional zum Druckabfall Δp längs l :

Δp = RV‘ mit R = 8ηl/(πr4)

η ist die Viskosität der Flüssigkeit; Wasser hat die Viskosität 10 – 3Pa●sec= 10 – 3kgm-1sec-1

R ist der Strömungswiderstand der Röhre

Mit V‘ ist hier die Ableitung des Volumens nach der Zeit bezeichnet; entsprechend bedeutet x‘ in dieser Aufgabe die Ableitung der Strecke x nach der Zeit.

Ein oben offener Standzylinder mit dem Innendurchmesser 5cm ist anfangs 20cm hoch mit Wasser gefüllt. An seiner tiefsten Stelle ist eine Röhre mit dem Strömungswiderstand 109Pa●sec/m3 angebracht, die zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet wird. Unter dem Einfluss des Gewichtsdruckes des Wassers im Standzylinder Δp = ρgx(t) fließt das Wasser aus. ρ bezeichnet die Massendichte des Wassers (ρ = 103kg/m3), g die Erdbeschleunigung ( g = 9,81m/sec2), x(t) die Füllhöhe zum Zeitpunkt t (x(0) = 0,2m) .

a) Wir führen die Abkürzung C:= A/(ρg) ein, wobei A den Querschnitt der Röhre bezeichnet. Berechnen Sie das Produkt RC im Fall der hier gegebenen Röhre ( Ergebnis: RC = 200 sec).

b) Zeigen Sie: Für die Füllhöhe x(t) gilt: x(t) = - RC●x‘(t) . Folgern Sie daraus:

x(t) = x(0)●exp( - t/(RC)) = 0,2m●exp( - t/(200sec))

c) Nach welcher Zeit ist die Füllhöhe auf 10cm gesunken? Nach welcher Zeit auf 4cm?

Wie würden sich die Ergebnisse ändern, wenn man eine Röhre verwenden würde, deren Innendurchmesser nur halb so groß ist?

d) Berechnen Sie den Volumenstrom unmittelbar nach dem Öffnen der Röhre sowie zu dem Zeitpunkt, da die Füllhöhe noch 10 cm beträgt.

e) Geben Sie Innendurchmesser und Länge einer Röhre an, die den hier verwendeten Strömungswiderstand R hätte ( nur ungefähre Angaben).


a) C = ( π●6,25●10 – 4m2)/(103kg/m3●9,81kgm/sec2) = 2●10 - 7 m4sec2/kg

Damit ist RC = 200 (Pa●sec/m3)( m4sec2/kg) = 200 (kgm-1sec-1/m3)( m4sec2/kg) = 200sec

b) V(t) = A●x(t); der Flüssigkeitsspiegel fällt, womit x‘(t) negativ ist; der Volumenstrom ist damit gegeben durch : - A●x‘(t).

Der Standzylinder ist nach oben offen; auf dem Flüssigkeitsspiegel und ebenso am Ende der Ausflussröhre herrscht der äußere Luftdruck, womit über die Ausflussöhre der Druck

Δp = ρgx(t) abfällt. Es folgt: Δp = ρgx(t) = R●( - A●x‘(t)) und damit x(t) = - RC●x‘(t)

Wie man sich durch Einsetzen überzeugen kann, erfüllt x(t) = x(0)●exp( - t/RC) diese Differentialgleichung; es gilt im gegebenen Fall also: x(t) = 0,2m●exp( - t/(200sec))

c) 0,1m = 0,2m●exp( - t/(200sec)) , also ½ = exp(-t/(200sec)) oder t = ln2●200sec = 138,6sec.

Und aus 1/5 = exp(-t/(200sec)) folgt t = ln5 ●200sec = 322 sec.

Nach rund 139 Sekunden ist die Füllhöhe auf die Hälfte, nach rund 322 Sekunden auf ein Fünftel ihres anfänglichen Wertes gesunken.

Würde man eine Röhre verwenden, deren Innendurchmesser nur halb so groß ist, so würden das Produkt RC und damit die eben ausgerechneten Zeiten um den Faktor 24 = 16 größer werden.

d) V‘(t) = - A●x‘(t) = (A/RC)●x(0)●exp( - t/RC) = V(0)/RC ● exp( - t/RC)

V(0) = π●2,52●20cm3= 392,5cm3 . Damit ist V‘(0) = 392,5/200 cm3/sec = 1,96cm3/sec

Der Volumenstrom ist zur Füllhöhe proportional, damit ist zur Halbwertszeit der Füllhöhe auch der Volumenstrom auf die Hälfte seines Anfangswertes, also auf 0,98 cm3/sec gesunken.

 

e) Setzt man in den Term R für r den Wert 5●10 – 4m und für l den Wert 0,08m ein,

so erhält man R = 1,09●109Pa● sec/m3 . Eine acht Zentimeter lange Röhre mit einem Innendurchmesser von 1 mm hat bei Durchfluss von Wasser etwa den gewünschten Wert des Strömungswiderstandes.