Veränderliche Bremsbeschleunigung

Bremsbeschleunigungen sind in der Regel nicht konstant. So wird etwa eine Kugel, die in eine Flüssigkeit hineinfällt, im Fall der Stokesschen Reibung ( die bei nicht turbulenter Strömung um die Kugel vorliegt), in der Weise abgebremst, dass die Bremsbeschleunigung proportional zu ihrer Momentangeschwindigkeit ist. Eine ähnliche Situation liegt vor, wenn man von einer Autobahn auf einen ausreichend langen Abbiegestreifen fährt. Da wird man zu Beginn kräftig bremsen, um dann allmählich den Fuß vom Bremspedal zu nehmen. Es mag in diesem Fall die Bremsbeschleunigung annähernd proportional zur noch vorhandenen Geschwindigkeit sein.

Ein Wagen bewegt sich auf ebener und gerader Strecke mit einer Geschwindigkeit von 72km/h. Er wird abgebremst, wobei der Bremsvorgang in der Weise verläuft, dass die Geschwindigkeit in jeder Sekunde zehn Prozent des Wertes verliert, den sie zu Beginn dieser Sekunde hatte.

Geben Sie einen Term an, der angibt, wie die

a)     Geschwindigkeit

b)     Beschleunigung

von der Zeit t abhängt, die seit Beginn des Bremsens verflossen ist.

Wie lange dauert der Bremsvorgang und wie weit ist der Bremsweg, bis die Geschwindigkeit auf

a)     54 km/h

b)     36 km/h

gesunken ist ?


72km/h = 20m/sec; 54km/h = 15 m/sec; 36km/h = 10m/sec

a) v( t) = 20m/sec • 0,91/sec • t = 20m/sec • exp( ln0,9 • sec-1•t) ( t : Zeit seit Beginn des Bremsvorgangs in Sekunden)

Hinweis : Die Näherung ln(1 + x) ≈ x ist für |x| ≤ 0,1 recht gut; so wäre der Fehler im Fall

|x| = 0,1 rund 5 Prozent. Diese Näherung würde im vorliegenden Fall bedeuten, überall ln0,9 durch die Zahl – 0,1 zu ersetzen.

b) a( t ) = 20m/sec2 • ln0,9 • exp( ln0,9 • sec-1•t)

 

Die Bremsbeschleunigung hat zu Beginn des Bremsens etwa den Wert 2 m/sec2 und fällt dann exponentiell ab.

Bremsdauer und Bremsweg:

a) 15 = 20 • exp( ln0,9 • sec-1•t) → t = ln(0,75)/ln(0,9) sec = 2,73 sec

 

s(t) = ( 20m/ ln(0,9) ) • ( exp( ln0,9 • sec-1•t) - 1 ) (Integral über die Geschwindigkeit)

 

Einsetzen exp( ln0,9 • sec-1•t) = 15/20 = ¾ ergibt s = - 5m/ln(0,9) = 47,45 m

b) 10 = 20 • exp( ln0,9 • sec-1•t) → t = ln(0,5)/ln(0,9) = 6,58 sec

Einsetzen exp( ln0,9 • sec-1•t) = ½ im Term s(t ) ergibt s = -10m/ln(0,9) = 94,9m

Hinweis: Die Geschwindigkeit geht exponentiell mit der Zeit gegen Null; insofern hört der Bremsvorgang niemals auf. Freilich ergibt sich irgendwann eine physikalische Grenze, etwa wenn die noch verbleibende Grenzwege atomare Abmessungen erreichen. Der komplette Bremsweg hat als Integral der Geschwindigkeit ( als eine „ins Unendliche reichende Fläche“) einen endlichen Wert, und zwar – 20m/ln(0,9) = 189,8 m