Worauf beruht der Trick?

Als es noch keine Taschenrechner gab, fanden die Leute viele Verfahren heraus, um Rechenaufgaben rasch im Kopf zu lösen. So sind in dem im Jahr 1913 erschienenen Buch „Unterhaltsame Aufgaben und Versuche“ des Petersburgers J.I. Perelman nicht weniger als dreißig solcher Verfahren aufgezählt. Einige davon, die Anwendungen der Binomischen Formeln sind, werden heute noch gern im Schulunterricht behandelt. Das folgende ist nicht mehr so bekannt.

Um eine natürliche Zahl, die mit der Ziffer 5 endet, zu quadrieren, multipliziert man diejenige Zahl, die nach Abspalten der 5 noch übrig bleibt, mit der nächsten natürlichen Zahl und hängt an das Ergebnis eine 25 an.

Beispiele: 752 = 5625 ( denn 7•8 = 56); 1452 = 21025 ( denn 14•15 = 210); 0,352 = 0,1225 (denn 3•4 = 12), 19952 = 3980025 ( denn 199•200 = 39800).

Beweisen Sie das Verfahren! Oder: Finden Sie die Formel heraus, auf der das Verfahren beruht.


Wir bezeichnen mit x die Zahl, welche nach Abspaltung der 5 noch übrig bleibt. Die Zahl selbst, deren Quadrat gesucht wird, ist gleich 10x + 5 . Wir quadrieren:

(10x + 5)2 = 100x2 + 100x + 25 = 100x( x + 1) + 25

Das ist die gesuchte Formel. Das Produkt x(x+1) gibt die Anzahl der Hunderter des Quadrats an. Man erhält das Quadrat, indem man die Zahl x, welche nach Abspalten der 5 noch übrig bleibt, mit der nachfolgenden Zahl multipliziert und an das Ergebnis 25 anhängt.