Erwartungswerte in der Geometrie

1. Gegeben sind in einem Cartesischen Koordinatensystem die drei Punkte ( 1,6 | 1,8) , (0 | 2,1) und ( - 0,8 | - 2). Bestimmen Sie die Durchschnittswerte xS , yS der drei x- bzw. y- Koordinaten . Welche geometrische Bedeutung hat der Punkt ( xS | yS ) ?

Bestimmen Sie den Inhalt des Dreiecks, welches die drei Punkte bilden.

2. In einem ebenen Cartesischen Koordinatensystem, das nur ganzzahlige x-y-Koordinaten enthält, wählt ein Generator zufällig vier Gitterpunkte aus : A( 3 | -2), B( 2 | 5), C( - 4 | 4) und D( - 2 | -3 ). Sodann verteilt er zufällig Teile einer vorgegebenen Masse auf diese Punkte; da das Spiel virtuell abläuft, kann die Ausdehnung der Masseteile vernachlässigt werden ( Massenpunkte). Schließlich ist die Masse wie folgt aufgeteilt: im Punkt A befinden sich 20% der Masse, im Punkt B 40%, im Punkt C 30% und im Punkt D 10%.

Die x- und y- Koordinaten der Massenpunkte sind Zufallsgrößen in diesem Spiel. Berechnen Sie die Erwartungswerte xS , yS dieser Zufallsgrößen. Welche geometrisch-physikalische Bedeutung hat der Punkt ( xS | yS ) ? Berechnen Sie auch die Streuung dieser beiden Zufallsgrößen.


1. xS = (1,6 + 0 + (-0,8))/3 = 0,27 , yS = ( 1,8 + 2,1 + (-2))/3 = 0,63

Der Punkt (xS|yS) ist der Schwerpunkt des Dreiecks, das aus den drei gegebenen Punkten als Eckpunkten gebildet wird. Dort schneiden sich die Seitenhalbierenden ( Schwerlinien) des Dreiecks.

Der Inhalt lässt sich auf verschiedenen Wegen bestimmen. Der einfachste scheint mir zu sein, das Vektorprodukt der beiden Vektoren ( 1,6 – 0| 1,8 – 2,1|0 ) = ( 1,6|-0,3|0) und

( -0,8-0|-2-2,1|0) = ( -0,8| -4,1|0) zu bilden. Dieser hat nur eine Komponente – in z- Richtung senkrecht zur Ebene, in der die drei Punkte liegen - , deren Betrag ist auch schon der Betrag des Vektorproduktes, und die Hälfte davon ist gleich dem gesuchten Flächeninhalt.

Es gilt ( 1,6 | - 0,3 | 0) x ( -0,8 | - 4,1 | 0 ) = ( 0 | 0 | 1,6•(-4,1) – (- 0,3)•(-0,8)) = (0|0| - 6,8 ).

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist gleich 6,8/2 = 3,4 .

2. xS = 0,2•3 + 0,4•2 + 0,3•(-4) + 0,1•(-2) = 0

yS = 0,2•(-2) + 0,4•5 + 0,3•4 + 0,1•(-3) = 2,5

Der Punkt ( 0 | 2,5 ) ist der Massenmittelpunkt der Anordnung.

Var(x) = 0,2•(3 – 0)2 + 0,4•(2 – 0)2 + 0,3•(-4 - 0)2 + 0,1•(-2- 0)2 = 8,6

Die Quadratwurzel daraus ist die Streuung der Größe x; sie hat den Wert 2,93

Var(y) = 0,2•(-2-2,5)2 + 0,4•(5- 2,5)2 + 0,3•(4- 2,5)2 + 0,1•(-3 –2,5)2 = 10,25

Die Quadratwurzel daraus ist die Streuung der Größe y; sie hat den Wert 3,2

Übrigens ist Var(x) + Var(y) gleich dem Trägheitsmoment bezüglich der Achse, die in z-Richtung durch den Massenmittelpunkt verläuft, wenn auf den vier Punkten eine Masse der Größe 1 Masseneinheit so wie in der Aufgabe angegeben verteilt wird.

Denn:

Var(x) + Var(y) = 0,2•((3–0)2 + (-2-2,5)2 ) + 0,4•((2–0)2 + (5- 2,5)2) +

+ 0,3•((-4-0)2+(4-2,5)2 )+ 0,1•((-2-0)2+(-3 –2,5)2) =

= 0,2•rA2 + 0,4•rB2 + 0,3•rC2 + 0,1•rD2 ,wobei rA, rB, rC, rD die Abstände der Punkte A, B,C,D

vom Massenmittelpunkt bezeichnen.