Steueraufkommen in zwei Stadtstaaten

Im Land Hellenia gibt es zwei Stadtstaaten A und B, die genau gleich viele steuerpflichtige Einwohner haben, und zwar 556. Gemeinsam ist ihnen auch das folgende System zur Erhebung der Steuern. Es gibt vier Stufen der Pro-Kopf-Steuer, die nach dem Vermögen der steuerpflichtigen Bürger erhoben wird: 8 oder 5 oder 3 oder 2 Talente pro Jahr (Die Einheit „Talent“ muss bei den Rechnungen nicht mitgeschleppt werden). Allerdings unterscheiden sich die Anzahlen der Bürger in den vier Steuerstufen in A und B erheblich. In A gehören jeweils genau gleich viele Bürger zu den vier Steuerstufen, zu jeder Stufe also 556/4 = 139 Bürger. In B sind die Vermögen so verteilt, dass das Steueraufkommen in jeder der vier Stufen genau gleich groß ist.

Berechnen Sie das gesamte Steueraufkommen pro Jahr in A und in B. Wie viele Steuern zahlt ein Bürger in A durchschnittlich im Jahr, wie viele ein Bürger in B?

Bestimmen Sie zu B die Anzahlen m8, m5, m3, m2 der Bürger in den vier Stufen mit 8,5,3,2 Pro-Kopf-Jahressteuer.

Bestimmen Sie in A und in B den Median ( Zentralwert) der Steuerbelastung des einzelnen Bürgers.

Der Median von n Zahlen ist wie folgt definiert.

Ordnet man die n Zahlen der Größe nach – denkt man sie sich von 1 bis n der Größe nach durchnumeriert - , so bezeichnet der Median diejenige dieser Zahlen, welche bei ungeradem n gleich viele Zahlen über sich wie unter sich hat; bei geradem n ist der Median gleich dem Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Die Nummer des Medians ist also gegeben durch (n+1)/2.

Im gegebenen Fall ist n = 556; und der Median der Steuerbelastung ist gleich dem Mittelwert der Steuerbelastungen der Bürger mit den Nummern 278 und 279.


Pro Jahr werden in A 556/4 • ( 8 + 5 + 3 + 2) = 556 • 18/4 = 556• 4,5 = 2502 Talente Steuern erhoben. Pro Kopf und Jahr sind es 4,5 Talente. Dies ist das arithmetische Mittel der vier Stufen: (8+5+3+2)/4 (I)

In B gilt: m8•8 = m5•5 = m3•3 = m2•2 und m8 + m5 + m3 + m2 = 556 (II)

Es folgt: m8 + m8• 8 • ( 1/5 + 1/3 + ½) = m8•8 • ( 1/8 + 1/5+ 1/3 + ½) = 556 (III)

Damit ist 556/(1/8 + 1/5 + 1/3 + ½) = m8•8 = m5•5 = m3•3 = m2•2

Pro Jahr werden 4• 556 / (1/8 + 1/5 + 1/3 + ½) = 1920 Talente Steuern erhoben . Pro Kopf und Jahr sind es 4/(1/8 + 1/5 + 1/3 + ½) ≈ 3,45 Talente. (IV)

Dies ist das harmonische Mittel H der vier Steuersätze 8,5,3,2. Denn nach Definition ist das harmonische Mittel dieser vier Zahlen gegeben durch 4/H = 1/8 + 1/5 + 1/3 + ½

Bei einer Verteilung gemäß A würde auch bei n Steuerstufen das durchschnittliche Steueraufkommen pro Kopf und Jahr das arithmetische Mittel der Steuersätze der n Stufen sein. In (I) würde im Zähler die Summe der Steuersätze in den n Stufen stehen und im Nenner die Zahl n.

Ebenso würde bei einer Verteilung gemäß B auch bei n Steuerstufen das durchschnittliche Steueraufkommen pro Kopf und Jahr das harmonische Mittel der Steuersätze der n Stufen sein. In (IV) würde im Zähler die Zahl n stehen und im Nenner die Summe der Kehrwerte der Steuersätze in den n Stufen.

Aus (III) errechnet sich m8 = 60, sodann aus (II) m5 = 96, m3 = 160, m2 = 240

Zur Berechnung des Zentralwertes ( Median) der Steuerbelastung.

Im gegebenen Fall ist n = 556; und der Median der Steuerbelastung ist gleich dem Mittelwert der Steuerbelastungen der Bürger mit den Nummern 278 und 279.

Im Fall A – jede Steuerstufe ist von 556/4 = 139 Personen besetzt – befindet sich Nr. 278 in der Gruppe mit 5 Talenten Steuern pro Kopf und Jahr und Nr. 279 in der folgenden Gruppe mit 3 Talenten Steuern pro Kopf und Jahr. Der Zentralwert ist gleich (5+3)/2 = 4

Im Fall B befinden sich Nr. 278 und Nr. 279 beide in der Gruppe mit 3 Talenten Steuern pro Kopf und Jahr. Der Zentralwert ist gleich 3.

Sowohl im Fall A wie im Fall B ist der Zentralwert kleiner als der Durchschnittswert

( 4<4,5 und 3<3,45). Der Durchschnittswert wird von dem relativ hohen Wert 8 „nach oben gezogen“ . Durchschnittswerte werden von extremen Werten, seien diese extrem groß oder klein, zu sich herangezogen. Der Median spürt das Gewicht der einzelnen Nummern nicht. Im Fall von Verteilungen von Vermögen oder Steuern bietet sich der Median als der aussagekräftigere Wert an. Das sieht man im vorliegenden Beispiel im Fall B recht gut: Der weitaus größte Teil der Bürger ( 400 von 556) zahlen 3 Talente oder weniger.

Da ist 3 ein „besserer“ Wert als 3,45.