Eine Stichprobe

Mit dieser Aufgabe machen wir einen Abstecher in die Wahrscheinlichkeitsrechnung; das ist – noch – nicht der Brauch in den Aufgaben der Mathematikolympiade, aber die Chancen zu sinnvollen Modellierungen sind doch zu verlockend. Sehen wir zu!

Bei einer jeden Messung treten zufällige Fehler und oft auch systematische Fehler auf. Bei der Messung der Breite eines Beetes mit Hilfe eines Zollstocks beispielsweise wird aufgrund der unebenen Beschaffenheit des Untergrundes immer eine Abweichung vom wahren Wert auftreten; wäre gar der Maßstab des Zollstocks verzerrt, würde zusätzlich ein systematischer Fehler entstehen.

In einer ersten Näherung kann man den Zufallsfehler einer Messung als eine Zufallsgröße X mit folgender Verteilung ansehen . x bezeichnet dabei den zufälligen Fehler ( im Beispiel etwa 1 cm).

 

x-11
p(X=x)½½

 

a) Geben Sie den Erwartungswert E(X) an und berechnen Sie die Streuung σ

 

b) Um die Genauigkeit zu erhöhen, wird man n Messungen durchführen und den Mittelwert der Messwerte bilden. Sind die Messungen unabhängig voneinander, so bildet das n-Tupel der Messwerte (X1, X2, ...,Xn) eine Stichprobe des Umfanges n der angegebenen Zufallsgröße. Summiert man die n Messwerte auf, so streut dieses Summe um n•E(X) + n1/2•σ , wobei der Term n1/2•σ aus der Summenregel der Varianz folgt ; bildet man dann das arithmetische Mittel der n Messwerte, so streut das Ergebnis um E(X) + σ/n1/2 .

Geben Sie für die oben gegebene Verteilung in den Fällen n = 10 und n = 100 die Größen

n•E(X) + n1/2•σ und E(X) + σ/n1/2 an.

 

c) Im folgenden sind zwei weitere Verteilungen einer Zufallsgröße X gegeben. Füllen Sie die beiden zugehörigen Tabellen aus. Könnten auch diese beiden Verteilungen jeweils eine Messung beschreiben? Welche Besonderheit hätte diese Messung?

 

x

-1

1

E(X)

σ

10•E(X) + 101/2σ

E(X) + σ/101/2

P(X=x)

0,3

0,7

 

 

 

 

 

x

-1

0

1

E(X)

σ

10•E(X) + 101/2σ

E(X) + σ/101/2

P(X=x)

0,1

0,4

0,5

 

 

 

 

 

d) In den vorhergehenden Aufgabenteilen wurden die drei Verteilungen als modellhafte Beschreibung eines Messvorganges aufgefasst. Lassen sich die Verteilungen auch zur Modellierung eines anderen physikalischen Vorganges verwenden? Beachten Sie dazu insbesondere den Term n1/2•σ .


a) E(X) = 0; E(X2) = (-1)2•1/2 + 12•1/2 = 1; Var(X)= E(X2) – (E(X))2 = 1; σ = 1

b) 10•E(X) + 101/2σ = + 3,16; E(X) + σ/101/2 = +0,32

100•E(X) + 1001/2σ = + 31,6; E(X) + σ/1001/2 = +0,1

 

c) Erste Tabelle:

E(X) = -1•0,3 + 1•0,7 = 0,4; E(X2) = 0,3 + 0,7 = 1; Var(X)= 1-0,16 = 0,84; σ = 0,92

x

-1

1

E(X)

σ

10•E(X) + 101/2σ

E(X) + σ/101/2

P(X=x)

0,3

0,7

0,4

0,92

4 + 2,9

0,4 + 0,29

 

Das ist das Modell einer Messung mit einem systematischen Fehler ( 0,4) plus dem zufälligen Fehler ( bei 10 Messungen + 0,29; bei hundert Messungen wäre der systematische Fehler unverändert gleich 0,4; der zufällige würde auf 0,092 sinken.

 

Zweite Tabelle:

E(X)= -0,1+0+0,5=0,4; E(X2) = 0,1+0,5=0,6; Var(X) = 0,6-0,16= 0,44; σ = 0,66

x

-1

0

1

E(X)

σ

10•E(X) + 101/2σ

E(X) + σ/101/2

P(X=x)

0,1

0,4

0,5

0,4

0,66

4 + 2,1

0,4 + 0,2

 

Es handelt sich wieder um eine Messung mit dem systematischen Fehler von 0,4. Die Streuung ist wesentlich kleiner, da vierzig Prozent der Messungen praktisch fehlerfrei sind

 

d) Die in den Teilen a) und b) behandelte Verteilung ist das Modell einer zufälligen Wanderung mit der Schrittlänge + 1; damit ist das Modell einer Diffusion gegeben. Nimmt man pro Zeiteinheit einen zufälligen Schritt nach links oder nach rechts an, so ist die Streuung nach t Zeiteinheiten proportional zur Wurzel aus t. Das ist das Weg – Zeit- Gesetz eines Diffusionsvorganges! Man kann sich eine Wolke vorstellen, deren Zentrum bei 0 verbleibt, und deren Ränder sich proportional zur Wurzel aus t ausbreiten.

Die erste Tabelle in Teil c) würde einen Diffusionsvorgang beschreiben, bei dem ein Gradient nach der positiven Seite vorliegt; nach zehn Schritten wäre der Mittelpunkt der Wolke bei 4 angekommen; zusätzlich würde sie sich nach links und rechts um rund 2,9 ausgedehnt haben.

Die zweite Tabelle in Teil c) würde einen Diffusionsvorgang beschreiben, bei dem wiederum ein Gradient nach rechts vorliegt; nach zehn Schritten wäre der Mittelpunkt der Wolke bei 4 angekommen; allerdings würde die zufällige Ausbreitung nach links und nach rechts wesentlich kleiner ausfallen als im Fall der ersten Tabelle. Die Wolke würde enger zusammenbleiben. Das liegt an der recht hohen Wahrscheinlichkeit von 0,4, dass ein diffundierendes Teilchen sich überhaupt nicht von der Stelle bewegt; man kann sich eine Wolke vorstellen, in der zufällig wirkende Kohäsionskräfte vorhanden sind, etwa van der Waals – Kräfte.