Ein leichter Regen

Ein Online-Wetterbericht meldet, dass an meinem Wohnort gerade ein leichter Regen niedergeht mit einer Intensität von 0,9 Litern pro Quadratmeter und Stunde ( 0,9l/(m2•h)).

a)Welche Regenmenge ( Regenmasse) geht demnach durchschnittlich in einer Sekunde auf eine handtellergroße Fläche ( 1dm2) nieder? ( Ergebnis zum Weiterrechnen: 2, 5 Milligramm pro Quadratdezimeter und Sekunde : 2,5 mg/(dm2•sec) ).

b) Auf meiner Terrasse steht ein Tisch mit einer einigermaßen horizontalen Tischplatte. Darauf liegt ein Tischtuch, das ich nun entferne. Der Regen beginnt, die noch trockene Platte zu benetzen. Es ist zu sehen, dass einige handtellergroße Teile der Plattenfläche etwa ein, zwei Sekunden lang noch trocken bleiben, bis nach einer Weile schließlich die ganze Platte gleichmäßig benetzt erscheint. Ähnliches kann man auf der Windschutzscheibe eines Autos beobachten, wenn Regen einsetzt. Da die Regentropfen unterschiedlich groß sind und es auch viele sehr kleine unter ihnen gibt, lege ich folgendes Modell zugrunde: Die pro Quadratdezimeter einfallende Regenmenge ist zufällig zwischen 0 und dem doppelten Wert des Durchschnitts verteilt, die Maßzahl der Menge ist also eine Zufallszahl zwischen 0 und 5 .

Berechnen Sie unter dieser Annahme jeweils Mittelwert, Standardabweichung, Quotient aus Standardabweichung und Mittelwert der Regenmenge

  • Pro dm2 und Sekunde
  • Pro m2 und Sekunde
  • Pro m2 und Stunde

  • m = 2,5 und (m)2 = 6,25 . m2 = (1/5)•05x2dx = 25/3 → σ2 = 25/3 – 6,25 = 2,08

und σ = 1,44. Es folgt σ/m = 0,58 = 58%

Pro dm2 und Sekunde fallen im Mittel 2,5 mg Regen; die Standardabweichung ist gleich 1,44mg, und die prozentuale Abweichung vom Mittelwert beträgt 58%.

Die Benetzung eines Quadratdezimeters in einer Sekunde streut also erheblich um den Mittelwert, was der Beobachtung entspricht.

  • m = 100•2,5 = 250; nach der Summenregel der Varianz ist σ = (100)0,5•1,44 = 14,4

Es folgt σ/m = 0,58/(100)0,5 = 0,058 = 5,8%

Pro m2 und Sekunde fallen im Mittel 250 mg Regen; die Standardabweichung ist gleich 14,4 mg, und die prozentuale Abweichung vom Mittelwert beträgt 5,8%.

  • m = 250mg•3600 = 900Gramm; σ = 14,4•60 = 864 mg; σ/m = 9,6•10-4≈ 0,1%

Pro Stunde und Quadratmeter fallen 900 Gramm Regen; die Regenmengen streuen um weniger als 0,1% um diesen Wert.